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用样本的数字特征估计总体的数字特征（知识讲解）
课程要求：
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念
2.能够从样本数据中获得或计算上述五个概念：
3.了解上述五个概念在估计总体数字特征方面的作用.
众数
1.概念
众数就是一组数据中出现次数最多的数值·
【补充说明】
(1)一组数据中的众数可能不止一个.例如，数据2,3,3,4,8,9,9的众数是3和9
(2)一组数据中如果所有子数据出现的次数都是一样的，那么就称这组数据没有众数.如数据
1,2,3,4,5
2.作用
众数容易查找和计算，但是它仅仅体现了样本数据的最大集中点，除此，之外无法反应样本其他数
据信息，作用不大·
中位数
1.概念
对于有限数据组，将数据升序（降序）排列之后位于正中间位置的数字就是这组数据的中位数，
当数据组容量为偶数时，取中间两个数据的平均数作为这组数据的中位数·
例如：
数据6,9,8,5,4,3,8,2,6,4,3升序调整为2,3,3,4,4,5,6,6,8,8,9，中位数为5：
第1页（共8页）
数据6,85,43,8,26,43升序调整为2,33,44,566,8,8，中位数为4十5=45.
2
【补充说明】
(1)不同于众数的是，对于一组数据，中位数只能有一个；
(2)对于所有数值都一样的一组数据来说，中位数就是这个数值.如数据5,5,5,5,5,5,5,5，…的
中位数为5
2.作用
样本中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个有点，但它对极端值的不敏感有
时也会成为缺点.
三、
(算数)平均数
1.概念
样本中所有数据之和与样本容量之比称为样本的平均数，
伤例如：若样本为2,33,4456,68,8，则平均数为元=2+3+3+4+4+5+6+6+8+8=49
10
2.计算方法
(1)利用定义：
n个数据1,2，，…，n的平均数短=1十功十十十n=上
(2)增量替代：
如果数据1,2，g,“,n在某个固定常数a附近波动，可以先将每个数据减去常数α得到新数据
1一a,2一a,2g一4，…，n一4，计算其平均数为x,则原数据1,2,3，·，xn的平均数
元=2+a.
3.作用
第2页（共8页）
由于样本平均数与每一个数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这
是众数、中位数都不具有的性质，也正是因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以
反映出更多的关于样本数据全体的信息，
【补充说明】
(1)利用增量替代计算平均数时，引入是出于简化运算的需要，并不是一定要执行的.若数据
为99,102,93,105,96,96,104,97,92，引入a=100的确是明智之举；要是针对数据
2,2,3,3,3,5,5,7,8,8,9引入a=10,反倒有蛇足之嫌：
（2)若数据1,2,8，，龙n的平均数为元，则数据m1十t,mc2十七，m十古，·，mn十的平均
数为m远+t.
某医院急诊中心抽查了50名病人，对其等待急诊的时间进行记录，绘制频率分布直方图（每组含
频率
组距
0.08
0.06
最小值，不含最大值，最后一组含最大值)如图所示：0.05
0.04
0.02
0.01--
0510152025时间/分
根据频率分布直方图，计算病人平均等待的时间的估计值元=一
分
答案
9.5
解析
由频率分布直方图可得各时间段的频率如下表：
等待时间分
0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频率
0.2
0.4
0.25
0.1
0.05
取各时间段的组中值为该时间段的平均等待时间
可得病人平均等待时间的估计值
E=2.5×0.2+7.5×0.4+12.5×0.25+17.5×0.1+22.5×0.05=9.5(分).
2
第3页（共8页）用样本的数字特征估计总体的数字特征（知识讲解）
课程要求：
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念
2.能够从样本数据中获得或计算上述五个概念：
3.了解上述五个概念在估计总体数字特征方面的作用.
众数
1.概念
众数就是一组数据中出现次数最多的数值·
【补充说明】
(1)一组数据中的众数可能不止一个.例如，数据2,3,3,4,8,9,9的众数是3和9
(2)一组数据中如果所有子数据出现的次数都是一样的，那么就称这组数据没有众数.如数据
1,2,3,4,5
2.作用
众数容易查找和计算，但是它仅仅体现了样本数据的最大集中点，除此，之外无法反应样本其他数
据信息，作用不大·
中位数
1.概念
对于有限数据组，将数据升序（降序）排列之后位于正中间位置的数字就是这组数据的中位数，
当数据组容量为偶数时，取中间两个数据的平均数作为这组数据的中位数·
例如：
数据6,9,8,5,4,3,8,2,6,4,3升序调整为2,3,3,4,4,5,6,6,8,8,9，中位数为5：
第1页（共5页）
数据6,85,43,8,26,43升序调整为2,33,44,566,8,8，中位数为4十5=45.
2
【补充说明】
(1)不同于众数的是，对于一组数据，中位数只能有一个；
(2)对于所有数值都一样的一组数据来说，中位数就是这个数值.如数据5,5,5,5,5,5,5,5，…的
中位数为5
2.作用
样本中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个有点，但它对极端值的不敏感有
时也会成为缺点.
三、
(算数)平均数
1.概念
样本中所有数据之和与样本容量之比称为样本的平均数，
伤例如：若样本为2,33,445,668,8，则平均数为元=2+3+3+4+4+5+6+6+8+8=49
10
2.计算方法
(1)利用定义：
n个数据1,2，，…，n的平均数短=1十功十十十n=
n=1
(2)增量替代：
如果数据1,2，g,“,n在某个固定常数a附近波动，可以先将每个数据减去常数α得到新数据
1一a,2一a,2g一4，…，n一4，计算其平均数为x,则原数据1,2,3，·，xn的平均数
元=2+a.
3.作用
第2页（共5页）
由于样本平均数与每一个数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这
是众数、中位数都不具有的性质，也正是因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以
反映出更多的关于样本数据全体的信息
【补充说明】
(1)利用增量替代计算平均数时，引入是出于简化运算的需要，并不是一定要执行的.若数据
为99,102,93,105,96,96,104,97,92，引入a=100的确是明智之举；要是针对数据
2,2,3,3,3,5,5,7,8,8,9引入a=10,反倒有蛇足之嫌：
（2)若数据1,2,8，…，龙n的平均数为元，则数据m1十t,mc2十七，m十古，·，mn十的平均
数为m元十t.
某医院急诊中心抽查了50名病人，对其等待急诊的时间进行记录，绘制频率分布直方图（每组含
频举
组距
0.08
0.06
最小值，不含最大值，最后一组含最大值)如图所示：0.05
0.04
0.02
0.01--
0510152025时间/分
根据频率分布直方图，计算病人平均等待的时间的估计值元=
分
某企业有三个分厂生产同一电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样的方
法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，由
所得的测试结果得知从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020,
1032弘，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为
h
四、标准差与方差
1.概念
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示；标准差的平方8称为方差
第3页（共5页）

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