资源简介

组合问题（知识讲解）
要求层次
内容
明细内容
了解
理解
掌握
排列、组合的概念
计数原
排列数公式、组合数公式
排列与组合
理
用排列与组合解决一些简单的实
际问题
一、组合
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素
的一个组合.
二、
组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号C表示.
三、组合数公式
g=na-1n-2列…-m+1=n则
m!
ml(m-mj!,m,n∈N+,并且m≤n.
组合数的两个性质：
性质1：C究=Cm;
性质2：C%+1=C%+C%-1.（规定C9=1)
四、组合问题常见的方法
1.分组分配法
第1页（共4页）
分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别，一般地平均分成堆（组），
必须除以n!,如果有m堆（组)元素个数相等，必须除以m!
2.插板法
n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题—把m个元素排成一排，从%-1个
空中选m-1个空，各插个隔板，有C
3.错位法
编号为1至n的n个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编
号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于
5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
【教师备案】
1考点：与计数原理以及排列问题综合出选填题
2意图与目的：学生需要理解组合的基本概念，掌握常见组合问题的解题方法，并能够利用组合
的原理解决计数原理的综合问题
3.重难点与易混点：分组问题、分配问题与挡板问题的区别与联系：将个元素分成m组，如果
元素不同组相同，则为分组问题：如果元素不同组不同，则为分配问题；如果元素相同组不同，
则为挡板问题.
4.知识层面：属于B难度的基础方法
五、思考题
有6本不同的书
(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？
第2页（共4页）
(5)分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？
(6)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(7)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
(8)假设6本书相同，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则有多少种不同的分法？
2
编号为1一4的4个小球放入编号为1-4的4个盒子内，要求小球与盒子的编号不同，共有多少种方
法？
3
若C穷=C附2，(m∈)，则n=。
4
计算C"+C0+n的值.
5
证明：C%+C+1+C+2十…+C%=C%+.
6
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
要将5个小球放入3个盒子中：
(1)若小球完全相同，盒子不同，每个盒子中都必须放入小球，有多少种不同的放入方法？
(2)若球完全相同，盒子不同，任意放入，有多少种不同的放入方法？
8
在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到1件次品的不同取法的种数是()·
A.C6C哈4
B.C609
C.C10-C84
D.A100-C84
9
将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数
为()
A.540
B.300
C.180
D.150
10
第3页（共4页）组合问题（知识讲解）
要求层次
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掌握
排列、组合的概念
计数原
排列数公式、组合数公式
排列与组合
理
用排列与组合解决一些简单的实
际问题
一、组合
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素
的一个组合.
二、
组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号C表示.
三、组合数公式
g=na-1n-2列…-m+1=n则
m!
ml(m-mj!,m,n∈N+,并且m≤n.
组合数的两个性质：
性质1：C究=Cm;
性质2：C%+1=C%+C%-1.（规定C9=1)
四、组合问题常见的方法
1.分组分配法
第1页（共7页）
分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别，一般地平均分成堆（组），
必须除以n!,如果有m堆（组)元素个数相等，必须除以m!
2.插板法
n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题—把m个元素排成一排，从%-1个
空中选m-1个空，各插个隔板，有C
3.错位法
编号为1至n的n个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编
号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于
5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
【教师备案】
1考点：与计数原理以及排列问题综合出选填题
2意图与目的：学生需要理解组合的基本概念，掌握常见组合问题的解题方法，并能够利用组合
的原理解决计数原理的综合问题
3.重难点与易混点：分组问题、分配问题与挡板问题的区别与联系：将个元素分成m组，如果
元素不同组相同，则为分组问题：如果元素不同组不同，则为分配问题；如果元素相同组不同，
则为挡板问题.
4.知识层面：属于B难度的基础方法
五、思考题
有6本不同的书
(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？
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(5)分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？
(6)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(7)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
(8)假设6本书相同，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则有多少种不同的分法？
答案
见解析.
解析
(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有
C哈·C.C分=90（种).这是均匀编号分组问题
(2)6本书平均分成3堆，用(1)中方法重复了倍，故共有8：C好-=15（种）.
这是均匀分组问题
(3)从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做
一堆，共有C哈·C哈，C=60(种)·这是非均匀分组问题
(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有C%·C号C·4A=360(种).
这是非均匀编号分组问题
(5)甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有C哈C%=30(种)·这
是部分均匀编号分组问题
(6)平均分堆要除以堆数的全排畅列数，不平均分堆则不除，故共有·C=15(种），
A
这是部分均匀分组问题·
(7)本题即为6本书放在6个位置上，共有A8=720(种).
(8)此为挡板问题，结果为C=10(种)·
2
编号为1-4的4个小球放入编号为1一4的4个盒子内，要求小球与盒子的编号不同，共有多少种方
法？
答案
见解析·
解析
此问题背景为错位全排列问题：设集合I={1,2,3,·,}中的所有元素的一种全排列
,t2,t,…,tn,满足tn卡n(任=1,2,3…n),称这样的排列为错位全排列，用a先考察
第3页（共7页）

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