资源简介

正态分布（知识讲解，习题集）
要求层次
内容
明细内容
了解
理解
掌握
离散型随机变
正态分布
量及分布列
概率密度曲线
样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲
线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X,则这条曲线称为x的概率密度曲
线.曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数4，b
之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.
二、
正态分布
1.定义
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.服
从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量·
正态变量概率密度曲线的函数表达式为回=】一。，：R,其中4，是参数，且
。>0,一00<4<+00.式中的参数和o分别为正态变量的数学期望和标准差，期望为4、标准
差为σ的正态分布通常记作N(4,σ2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
X=U
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2.标准正态分布
我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布，
3.重要结论
①正态变量在区间(4-0,4+σ)，(4-2o,4+2o),(4一3o,4+3o)内，取值的概率分别是
68.3
95.4
99.7
②正态变量在(-0∞+0∞)内的取值的概率为1，在区间(4-3σ4+3σ)之外的取值的概率是
0.3
,故正态变量的取值几乎都在距：=4三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则
【教师备案】
1.考点：考纲要求层次为了解(A),但是自2010课改以来高考从未考查过，模拟题中也极少
出现
2.意图与目的：按照高考大纲的要求，学生需要了解正态分布的所有知识点，明确各种概念以
及联系·由于高考多年未考，学校没有重视，这部分知识几乎成为所有学生的知识漏洞，在一轮
复习时需要详细学习
3.重难点与易混点：
(1)标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得
(2)若茶心W4,),e为其概率密度函数，则称P回)=Pg≤-f为概率分布函
数，特的，g~N0叫，称间)-广厂房a为标准正态分布函数
2
P化<习=(。).分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可。
4.知识层面：属于B难度的基础知识
第2页（共9页）
三、思考题
1
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
f)=心。“”，则下列命题中不正确的是(）。
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
答案
解析
050
180110
2
1
·.其密度函数为(x)=
10V2x
·.该市这次考试的数学平均成绩为80分，
该市这次考试的数学标准差为10，
从图形上看，它关于直线x=80对称，
且50与110也关于直线=80对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.
故选B,
2
在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,02)(口>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X
在(0,2)内取值的概率为
第3页（共9页）正态分布（知识讲解，习题集）
要求层次
内容
明细内容
了解
理解
掌握
离散型随机变
正态分布
量及分布列
概率密度曲线
样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲
线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X,则这条曲线称为x的概率密度曲
线.曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数4，b
之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.
二、
正态分布
1.定义
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.服
从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量·
正态变量概率密度曲线的函数表达式为回=】一。，：R,其中4，是参数，且
。>0,一00<4<+00.式中的参数和o分别为正态变量的数学期望和标准差，期望为4、标准
差为σ的正态分布通常记作N(4,σ2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
X=U
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2.标准正态分布
我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布，
3.重要结论
①正态变量在区间(4-0,4+σ)，(4-2o,4+2o),(4一3o,4+3o)内，取值的概率分别是
68.3
95.4
99.7
②正态变量在(-0∞+0∞)内的取值的概率为1，在区间(4-3σ4+3σ)之外的取值的概率是
0.3
,故正态变量的取值几乎都在距：=4三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则
【教师备案】
1.考点：考纲要求层次为了解(A),但是自2010课改以来高考从未考查过，模拟题中也极少
出现
2.意图与目的：按照高考大纲的要求，学生需要了解正态分布的所有知识点，明确各种概念以
及联系·由于高考多年未考，学校没有重视，这部分知识几乎成为所有学生的知识漏洞，在一轮
复习时需要详细学习
3.重难点与易混点：
(1)标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得
(2)若茶心W4,),e为其概率密度函数，则称P回)=Pg≤-f为概率分布函
数，特的，g~N0叫，称间)-广厂房a为标准正态分布函数
2
P化<习=(。).分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可。
4.知识层面：属于B难度的基础知识
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三、思考题
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
=02。“紫，则下列命题中不正确的是(）·
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,02)(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为04，则X
在(0,2)内取值的概率为
3
已知随机变量Z服从正态分布N(0,a2),若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=（)·
A.0.477
B.0.625
C.0.954
D.0.977
4
灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：h),已知“N(1000,30),要使灯泡的平均寿命为1000的概
率为997%，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上·
(参考数据若X~N(,o2),有P(-。P(u-2o5
某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件
正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时)均服从正态分布N(1000,50),且各个元件
能正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
元件1
元件3
元件2
四、正态分布（易）
第3页（共5页）

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