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二项式定理（理）（知识讲解）
要求层次
内容
明细内容
了解
理解
掌握
计数原
用二项式定理解决与二项展开式有
二项式定理
理
关的问题
二项式定理的概念
(a+b)”=C州a”+Chan-1b+C%an-2+…+Cm”(neN)这个公式表示的定理叫做二项式定
理
二、
二项式系数、二项式的通项
C9a”+Cha-1b+C经a”-2+·+C叫做(a+)"的二项展开式，其中的系数
C(r=0,1,2,,)叫做二项式系数，式中的C%a”矿叫做二项展开式的通项.
用T+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T+1=Ca”*.
三、二项式展开式的各项幂指数
二项式(a+)的展开式项数为+1项，各项的幂指数状况是
(1)各项的次数和都等于二项式的幂指数·
(2)字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一
项起，次数由零逐项增1直到
四、二项式系数的性质
1.对称性
在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.
第1页（共6页）
2.单调性
二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得
最大值.其中当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C最大；
当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数c片，c相等，且最大，
3.组合总数的公式
C州+C十C+·+C”=2”,即二项展开式中各项的二项式系数之和等于2”.
4.“一分为二”的考察
二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即C9+C经+C4+…=C%+C8+C9+·=2-1
【教师备案】
1考点：考纲要求层次为理解(B),但是自2010课改以来高考从未考查过，模拟题经常出现
2意图与目的：按照高考大纲的要求，学生需要理解二项式定理的所有知识点，明确各种概念以
及联系，由于高考多年未考，以后的每一年高考都有可能成为考查的对象
3重难点与易混点：
(1）通项I+1=C%an-+是(a+b)”的展开式的第m+1项，这里r=0,1,2,…,n
(2)二项式(a+b)"的r+1项和(b+a)"的展开式的第r+1项C%-ra是有区别的，应用二项式定
理时，其中的和是不能随便交换的
(3)注意二项式系数()与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项
的系数有时可为负
(4)通项公式是(a+)这个标准形式下而言的，如(a-)的二项展开式的通项公式是
T+1=(-1)C%a”+（只须把-b看成代入二项式定理)这与T,+1=Ca”b是不同的，在这里
对应项的二项式系数是相等的都是C",但项的系数一个是(-1)'C，一个是C%,可看出，二项式
系数与项的系数是不同的概念.
(5)设a=1,b=x,则得公式：(1+)m=1+C%龙+C%x2+..+C%x+..+x”
第2页（共6页）二项式定理（理）（知识讲解）
要求层次
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明细内容
了解
理解
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计数原
用二项式定理解决与二项展开式有
二项式定理
理
关的问题
二项式定理的概念
(a+b)”=C州a”+Chan-1b+C%an-2+…+Cm”(neN)这个公式表示的定理叫做二项式定
理
二、
二项式系数、二项式的通项
C9a”+Cha-1b+C经a”-2+·+C叫做(a+)"的二项展开式，其中的系数
C(r=0,1,2,,)叫做二项式系数，式中的C%a”矿叫做二项展开式的通项.
用T+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T+1=Ca”*.
三、二项式展开式的各项幂指数
二项式(a+)的展开式项数为+1项，各项的幂指数状况是
(1)各项的次数和都等于二项式的幂指数·
(2)字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一
项起，次数由零逐项增1直到
四、二项式系数的性质
1.对称性
在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.
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2.单调性
二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得
最大值.其中当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C最大；
当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数c片，c相等，且最大，
3.组合总数的公式
C州+C十C+·+C”=2”,即二项展开式中各项的二项式系数之和等于2”.
4.“一分为二”的考察
二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即C9+C经+C4+…=C%+C8+C9+·=2-1
【教师备案】
1考点：考纲要求层次为理解(B),但是自2010课改以来高考从未考查过，模拟题经常出现
2意图与目的：按照高考大纲的要求，学生需要理解二项式定理的所有知识点，明确各种概念以
及联系，由于高考多年未考，以后的每一年高考都有可能成为考查的对象
3重难点与易混点：
(1）通项I+1=C%an-+是(a+b)”的展开式的第m+1项，这里r=0,1,2,…,n
(2)二项式(a+b)"的r+1项和(b+a)"的展开式的第r+1项C%-ra是有区别的，应用二项式定
理时，其中的和是不能随便交换的
(3)注意二项式系数()与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项
的系数有时可为负
(4)通项公式是(a+)这个标准形式下而言的，如(a-)的二项展开式的通项公式是
T+1=(-1)C%a”+（只须把-b看成代入二项式定理)这与T,+1=Ca”b是不同的，在这里
对应项的二项式系数是相等的都是C",但项的系数一个是(-1)'C，一个是C%,可看出，二项式
系数与项的系数是不同的概念.
(5)设a=1,b=x,则得公式：(1+)m=1+C%龙+C%x2+..+C%x+..+x”
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