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几何概型（知识讲解）
课程要求：
1.理解几何概型的概念：
2.掌握不同维度下几何概型概率的计算公式
我们已经学习了两种方法计算随机事件发生的概率，一是通过做试验或者用计算机模拟试验等方
法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率；二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率.
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算
事件发生的概率了.
在特定情况下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率
一、几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量（长度、面积或体积）成比例，则称这
样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型
【补充说明】
(1)同古典概型一样，几何概型也有如下两个特征：
①无限性：在一次试验中，基本事件的个数是无限个；
②等可能性：每一个基本事件发生的可能性是均等的.
(2)几何概型中，概率大小与区域形状、位置无关，只与大小有关.
二、几何概型的计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)=4
其中：
4表示构成事件A的几何度量（可以是区域长度、区域面积或者区域体积），
表示构成试验全部结果的几何度量（可以是区域长度、区域面积或者区域体积）·
【思考】请判断下列命题是否正确？
第1页（共8页）
(1)不可能事件的概率一定是0：
(2)概率为0的事件一定是不可能事件
【提示】结合几何概型公式设定一定的试验背景探讨（比如向一个方格区域中投掷石子）·
已知点B任意地落在长度为L的线段0A上，求线段0和BA中较短的线段不小于号的概率，其是
否为几何概型？
答案
是几何概型
1
解析
是几何概型
设事件A为"线段0和BA中较短的线段不小于。”，B点的运动区域长度为x
要想让0B和BA中较短的线段不小于专，
2L
则应有5≤x<.则P)=
华-1
三、与长度有关的几何概率的求法
在求解与长度有关的几何模型时，首先找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段
或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d,在找的过程中，确定边界点是问题的关键，但边
界点是否取到却不影响事件A的概率
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(4A)=
e
其中：
4表示构成事件A的区域长度，
表示试验的全部结果所构成的区域长度，
2
在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离大于2的概率
是
第2页（共8页）几何概型（知识讲解）
课程要求：
1.理解几何概型的概念：
2.掌握不同维度下几何概型概率的计算公式
我们已经学习了两种方法计算随机事件发生的概率，一是通过做试验或者用计算机模拟试验等方
法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率；二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率.
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算
事件发生的概率了.
在特定情况下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率
一、几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量（长度、面积或体积）成比例，则称这
样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型
【补充说明】
(1)同古典概型一样，几何概型也有如下两个特征：
①无限性：在一次试验中，基本事件的个数是无限个；
②等可能性：每一个基本事件发生的可能性是均等的.
(2)几何概型中，概率大小与区域形状、位置无关，只与大小有关.
二、几何概型的计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)=4
其中：
4表示构成事件A的几何度量（可以是区域长度、区域面积或者区域体积），
表示构成试验全部结果的几何度量（可以是区域长度、区域面积或者区域体积）·
【思考】请判断下列命题是否正确？
第1页（共5页)
(1)不可能事件的概率一定是0：
(2)概率为0的事件一定是不可能事件
【提示】结合几何概型公式设定一定的试验背景探讨（比如向一个方格区域中投掷石子）·
已知点B任意地落在长度为L的线段0A上，求线段0和BA中较短的线段不小于号的概率，其是
否为几何概型？
三、与长度有关的几何概率的求法
在求解与长度有关的几何模型时，首先找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段
或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d,在找的过程中，确定边界点是问题的关键，但边
界点是否取到却不影响事件A的概率
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)-
其中：
eA表示构成事件A的区域长度，
e表示试验的全部结果所构成的区域长度·
在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离大于2m的概率
是
等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率.
4
平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r任何一条平行线相碰的概率是（）·
A.a-r
B.a-r
C.
2a-r
D.a+r
a
2a
2a
2a
四、与角度有关的几何概率的求法
第2页（共5页）

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