资源简介

直线与平面垂直
【学习目标】
1．通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养。
【学习重难点】
1．了解直线与平面垂直的定义。
2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。
3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。
4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。
【学习过程】
一、基础铺垫
1．初中几何中已经提到，两条直线相交，可以形成______个角，其中有些角是对顶角，有些角是邻补角，而且对顶角______，邻补角______。
2．习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不______于直角的角的大小。
3．一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则______所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小。
4．为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为______°，这样一来，空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的。两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角。特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m______，记作l______m。
二、合作探究
线面垂直的定义及判定定理的理解
【例1】 下列说法中正确的个数是（ ）
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
线面垂直判定定理的应用
【例2】 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．
[思路探究] PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC 直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线。
线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。观察折痕AD与桌面的位置关系。
1．折痕AD与桌面一定垂直吗？
[提示] 不一定。
2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
[提示] 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直。
【例3】 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1．
[思路探究] 两直线垂直于同一平面 两直线平行。
【母题探究】
本例中条件不变，求证：M是AB中点。
【学习小结】
1．直线与直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
2．直线与平面垂直的定义
文字语言 图形语言 符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α
3．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面
符号语言 b⊥α
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 （ ）
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 （ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。 （ ）
2．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
4．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点。证明：PC⊥平面BEF。
答案：
【学习过程】
二、合作探究
【例1】
D [由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确。]
【例2】
[证明] （1）因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，
所以AE⊥BC．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以AE⊥PC．
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF。
（2）由（1）知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG 平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD 平面PCD，所以AG⊥PD．
[探究问题]
[思路探究]
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
【母题探究】
[证明] 连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．
所以ONCDAB，
所以ON∥AM。
又因为由本例可知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM。因为ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中点。
【精炼反馈】
1．[答案] （1）√ （2）√ （3）√
[提示] 由线面垂直的定义和性质可知（1）、（2）、（3）均正确。
2．B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确。]
3．C [因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面。
ABCD，则BD⊥MC．因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA 平面AMC，所以MA⊥BD．
显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交。]
4．[证明] 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形。
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC．
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，∴BF⊥PC．又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF。
7 / 7

展开更多......

收起↑