资源简介

直线与平面垂直
【学习目标】
1．通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助线面垂直的性质定理与判定定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养。
【学习重难点】
1．了解直线与平面垂直的定义。
2．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。
3．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。
4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。
【学习过程】
一、合作探究
1．线面垂直的定义及判定定理的理解
【例1】 下列说法中正确的个数是（ ）
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
2．线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。观察折痕AD与桌面的位置关系。
（1）折痕AD与桌面一定垂直吗？
（2）当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
【例2】 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1．
[思路探究] 两直线垂直于同一平面 两直线平行。
【母题探究】
本例中条件不变，求证：M是AB中点。
3．线面垂直判定定理的应用
【例3】 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．
[思路探究] PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC 直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线。
【学习小结】
1．直线与平面垂直的定义
文字语言 图形语言 符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α
2．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面
符号语言 b⊥α
3．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 （ ）
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 （ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。 （ ）
2．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
4．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点。证明：PC⊥平面BEF。
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