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一元二次方程及其应用
【复习目标】
1．了解一元二次方程的定义及一般形式．
2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
【知识梳理】
1．－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．
3．一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．
(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．
(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．
(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．
(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．
(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△<0时，方程没有实数根．
5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．
6．列一元二次方程解增长率问题可简化为a(1±x)2＝b，其中a为变化前的基础，b为变化后的结果，x为变化率，但要注意：增长率没有单位，且对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础，如2月份产量是在1月份基础上变化的，而不是以任意一个月份为基础的．
【考点例析】
考点一　一元二次方程根的意义
　例1已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是 ( )
A．1 B．－1 C．0 D．无法确定
提示 由方程根的意义，把x＝1代入方程，得到与m有关的方程，解之即可．
考点二　一元二次方程的解法
例2　解下列方程：
(1) (x－3)2－9＝0；
(2) x2－2x＝5；
(3) x2－4x＋2＝0；
(4) 2（x－3）＝3x（x－3)．
提示　观察方程的特点可发现：(1)可用直接开平方法；(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；(4)方程都有共同的因式(x－3)，故可用因式分解法．
考点三　一元二次方程根的判别式
　例3 　如果关于x的一元二次方程kx2－有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ( )
A． k< B．k<且k≠0
C．－≤k< D．－≤k<且k≠0
提示　解决本题时需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知，三者缺一不可．
考点四　一元二次方程根与系数的关系
　 例4已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1、x2，则xx2＋x1x的值为 ( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
提示 由于xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)，此时根据一元二次方程根与系数的关系分别求得x1x2、x1＋x2的值，从而解决问题．
例5 (2012．南充)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1、x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，求m的值．
提示 (1)因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式分别表示出x1＋x2及x1x2，代入2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0即可求出m的值．
考点五　一元二次方程的应用
例6据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下面的问题：
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
提示　(1)设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)万人次，2011年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)2万人次．根据题意列方程求解；
(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7 200(1＋x)万人次．
例7某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车时，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／辆；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元．
(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；
(2)如果汽车的售价为28万元／辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车（盈利＝销售利润＋返利）
提示　用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，根据“盈利＝销售利润＋返利”列出方程求解．
【反馈练习】
1．方程（x－1）(x＋2)＝0的两根为 ( )
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A．k>且k≠2 B．k≥且k≠2
C．k>且k≠2 D．k≥且k≠2
3．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5 500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )
A．5500(1＋x)2＝4000 B．5500(1－x)2＝4000
C．4 00(1－x)2＝5500 D．4000(1＋x)2＝5500
4．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为x＝2，则这个方程的另一个根是________．
5．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则_______．
6．解方程：－x2－2x＝2x＋1．
7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
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