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直线与圆的位置关系（知识讲解）
学习目标
1.掌握直线与圆的位置关系的判断方法
2.能够解决常见的直线和圆的综合问题
3.强化数形结合思想意识，体会解析几何解题思想
一、
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断的方法有两种：
1.代数法
将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次
方程，求出其△的值，然后比较判别式△与0的大小关系，
①若△<0，则直线与圆相离
②若△=0，则直线与圆相切
③若△>0，则直线与圆相交
2.几何法
利用圆心到直线的距离$和圆的半径$的大小关系：
d
d
①d<"兮相交，
②d=r兮相切，
③d>"兮相离.
第1页（共4页）
说明：判断点与直线的位置关系时通常采用几何法·
圆C:x2+y2-2x-4划-3=0的圆心坐标为一；直线：3x+4划十4=0与圆C位置关系
是一·
2
若直线y=2x+m与圆(-2)2+(y+3)2=5相切，则m的值是
3
已知圆C:x2+2一4x+3=0,则圆心C的坐标是一；若直线y=c一1与圆C有两个不同
的交点，则的取值范围是一
4
过点(3，v)与圆x2+2-4,+3=0相切的直线方程为
5
已知实数云、满足(e-3)2+=3,则”，的最大值是
6
由直线划=上一点向圆（一4）2+=1引切线，则切线长的最小值为
二、
计算直线被圆截得的弦长
1.几何法（垂径定理）：
结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算·
AB=2r2-d
2.代数法（弦长公式）：
第2页（共4页）
结合韦达定理利用弦长公式AB到=V1+2A-=√(1+)【(eA+B)》2-4Al
说明：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法·
直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于
8
已知直线-y+a=0与圆心为C的圆x2+2+2x-4划-4=0相交于A,B两点，且ACLBC,则
实数a的值为
9
求过点A(2,4)且与圆x2+2=4相切的直线方程.
已知圆C经过坐标原点0和点(2,2)，且圆心在轴上·
(1)求圆C的方程；
(2)设直线经过点(1,2)，且与圆C相交所得弦长为2√/3，求直线的方程
三、
设而不求
“设而不求”，就是指在解题时可设一些辅助元（参数），然后在解题过程中，巧妙地消去辅助元（参数），而
不必求出这些辅助元（参数）的值（有时也求不出），以优化解题过程，使解题方法便捷它的应用非常广
泛，也非常巧妙，能给人耳目一新的感觉
解析几何是高中数学教学的难点由于它综合性较强、交汇面广，因而解题时就需要运用多种基础
知识、采用多种数学方法来处理问题熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速，
准确解题，还须掌握一些如果方法和技巧在解答平面解析几何中的某些问题时，能适时运用“设
而不求”的方法，就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
用“设而不求”解题的一般步骤是：
设直线方程为y=x+m,A(1,),B(2,)
y=kx+m
联立直线与圆方程
1(e-a)2+(y-)2=2'
△=B2-4AC>0
消去y(或)，则
+2=-县
吻=号
然后在整体带入1十x2，然12到具体的式子中去
第3页（共4页）直线与圆的位置关系（知识讲解）
学习目标
1.掌握直线与圆的位置关系的判断方法
2.能够解决常见的直线和圆的综合问题
3.强化数形结合思想意识，体会解析几何解题思想
一、
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断的方法有两种：
1.代数法
将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次
方程，求出其△的值，然后比较判别式△与0的大小关系，
①若△<0，则直线与圆相离
②若△=0，则直线与圆相切
③若△>0，则直线与圆相交
2.几何法
利用圆心到直线的距离$和圆的半径$的大小关系：
d
d
①d<"兮相交，
②d=r兮相切，
③d>"兮相离.
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说明：判断点与直线的位置关系时通常采用几何法·
圆C:x2+2-2x-4y-3=0的圆心坐标为；直线1：3x+4y+4=0与圆C位置关系
是」
答案
1:(1,2)
2:相离
解析
圆C:2+2-2x-4g-3=0化为标准方程
得：(z-1)2+(y-2)2=8,
.圆心C(1,2),r=2√2，
.圆心C到直线3x+4y+4=0的距离
d=3+8+到=3>2w2=r,
√32+4
.直线与圆c相离·
2
若直线y=2x+m与圆(：-2)2+(y+3)2=5相切，则m的值是
答案
-12或-2
解析
圆(-2)2+(y+3)2=5的圆心为(2，-3)，半径r=√5，
所以，
2×2--3到+m=r=V5,解得m=-12或m=-2.
√1+4
故答案为-12或-2.
3
已知圆C:x2+2-4红+3=0，则圆心C的坐标是一；若直线y=2-1与圆C有两个不同
的交点，则的取值范围是
答案
1:(2,0)
20<<
第2页（共7页）
解析
.圆C:x2+2-4+3=0，
化为标准方程是(x-2)2+2=1;
.圆心C的坐标是(2,0)
又直线y=kx一1与圆C有两个不同的交点，
,圆心C(2,0)到直线k-y-1=0的距离满足d即2k-1<1:
V2+1
化简，得32-4<0，
解得0的取值范是{<<引
4
过点(3，v3)与圆x2+2-4知+3=0相切的直线方程为
答案
v3
龙，x=3
解析
圆的标准方程为(-2)2+y=1,
则圆心坐标为(2,0)，半径=1，
若直线斜率不存在，
则直线方程为花=3，圆心到直线的距离d=3一2=1，满足条件，
若直线斜率存在，则直线方程为y一√=k(x一3)，
即k-y+√5-3k=0,
圆心到直线的距离d=
2k+V√3-3kv3-
V1+2
V1+
解得k=
3
,此时切线方程为y=Y。
3，
综上切线方程为y=
30,=3.
5
已知实数、满足(e-3)2+=3,则y,的最大值是
花一1
答案
第3页（共7页）

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