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空间向量的概念和运算（知识讲解）
空间向量的概念
类比于平面向量，我们把在三维空间中具有大小和方向的向量叫做空间向量
【补充说明】
在空间向量体系中，下列概念与平面向量是对应等同的：
零向量、向量的长度或模、基线、共线（平行）向量.
二、
空间向量的线性运算
根据自由向量的特性，空间中任意两个向量都可以通过平移转化为共面向量，基于这一点，空间
向量的三种线性运算仅仅是平面向量运算的推广，在此不加赘述，
同平面向量的线性运算一样，空间向量的加法运算仍引旧满足交换律和结合律（有限个向量求和，
交换相加向量的顺序其和不变)，数乘运算满足分配率
如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD中，已知A店=d,A=方，AA=仓，则用向量d
,6,可表示向量BD等于(），
A.d+B+2
B.d-6+
c.d+8-d
D.-d+官+
答案
D
解析
因为BD=BA+Bd+BB=-d+6+d,所以选D
第1页（共9页）
2如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，点M,N分别是面对角线A1B与BD1的中点，若
DA=d,D元=i,DD=d,则M=()·
D
C
A
D
B
A已+官-动B.d+-c.2d-
D.(2-d)
答案
D
解析
M=M店+BB+B
=A+B丽+BD
(A+a)+B丽+（⑧d+动）
=(+)++(这-
-日-a)
三、空间向量分解定理
如果三个向量d,6,不共面，那么对空间任一向量寸，存在一个唯一的有序实数组，头，名，使
市=xd+yb+d
【补充说明】
由上述定理可知，如果三个向量d,8,不共面，则d,6,的线性组合xd+y6+x能生成所
有的空间向量，这时d,不，2叫做空间的一个基底，记作{公，不，2，其中d,不，都叫做基向
量
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底·
3
第2页（共9页）
在四面体0-ABC冲，点P为棱BC的中点，设0A=d,OB=方，O心=。，那么向量A用基
底(d,6,}可表示为(）：
、
A
1古+
A
B.-d+
+
2
C.d+
6+2
2
2
+
D.
6+2
答案
解析
点P为棱BC的中点，
:o-(oi+od）
市-o-oi-(oi+od)-oi,
又0A=a,0店=i,0d=&,
正-(o成+od)
-
=++
4
如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，若A=a,AD=6,AA=,则BM=(）
D'
A
D
3
A+8+2
B.号+6+
D.
1
1
2
2
2-
b+
答案
解析
第3页（共9页）空间向量的概念和运算（知识讲解）
一、
空间向量的慨念
类比于平面向量，我们把在三维空间中具有大小和方向的向量叫做空间向量
【补充说明】
在空间向量体系中，下列概念与平面向量是对应等同的：
零向量、向量的长度或模、基线、共线（平行）向量.
二、
空间向量的线性运算
根据自由向量的特性，空间中任意两个向量都可以通过平移转化为共面向量，基于这一点，空间
向量的三种线性运算仅仅是平面向量运算的推广，在此不加赘述，
同平面向量的线性运算一样，空间向量的加法运算仍引旧满足交换律和结合律（有限个向量求和，
交换相加向量的顺序其和不变)，数乘运算满足分配率
如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，已知A店=。，A=方，AA=含，则用向量d
,6,可表示向量BD等于(），
A.d+B+2
B.d-6+
c.a+君-d
D.-d+官+
2
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若
DA=d,D元=方，DD=,则M=(）
第1页（共5页）
D
C
A
B
D-
B
A(已+官-B.(d+-c.2d-
(日-
三、
空间向量分解定理
如果三个向量d,6,不共面，那么对空间任一向量方，存在一个唯一的有序实数组，头，z,使
方=xd+y6+zd
【补充说明】
由上述定理可知，如果三个向量d,6,不共面，则d,6,c的线性组合xd+y6+d能生成所
有的空间向量，这时d,不，叫做空间的一个基底，记作{d,,己}，其中d,6,8都叫做基向
量
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底.
3
在四面体0-ABC冲中，点P为棱BC的中点.设OA=d,OB=官，O心=。，那么向量A用基
底(d,6,可表示为(）·
C
6
A
A这+8+
-这+8+
1
C.a+b+c
D.
+
1→
a+26+2
4
如图，在平行六面体ABCD-4BCD中，若A=,A=6,AA=己，则BM=()
第2页（共5页）
A
B
A+号8+B这+8+c-8+tD
b+
2
2
2
已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(c,-1,3)在平面ABC内，则x=
四、空间向量的数量积
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量d,方，在空间中任取一点0，作0A=d,O形=言，则L40叫做向量d与
8的夹角，记作（己，》(d,》eo,可）
(岔，8）=及，则称d与互相垂直，记作d1方。
2.异面直线成角
把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角），叫做两条异面直线所成的
角.如果所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直
3.空间向量的数量积
空间中的两个向量d, ,总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积
d.言-d到c0s(d,》叫做两个空间向量d,的数量积
【补充说明】
空间向量的数量积满足平面向量的数量积所具备的全部性质和运算律，在此不加赘述·
6
棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，AB·BC的值为(）·
第3页（共5页）】

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