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空间向量在立体几何中的应用（知识讲解）
一、
用向量运算求解两条直线所成的角
如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否平行（或重合）、垂直来判定
直线是否平行、垂直·
设两条直线所称的角为9，则直线方向向量间的夹角与相等或互补·
设直线和2的方向向量分别为和，则有：
/2台/网：
⊥2件⊥场：
cos0=|cos(y,2升.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角
的余弦值，
C
B
0
2如图，在空间直角坐标系xOy中，正方体ABCD-A1BCD的棱长为1，在AB上，在
CD1上，且B=D=341B
4
A
(1)求向量B,DF的坐标；
第1页（共8页）
(2)求B西与D可所成的角的余弦值
二、
用向量运算证明平行（垂直）
1.平面的法向量
已知平面a,如果向量的基线与平面α垂直，则向量元叫做平面a的法向量.
由平面法向量的定义可知，平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.
由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行.
有了上面的理论做保障，我们可以按照如下方法证明直线与平面平行或垂直：
设一直线！，一平面a的法向量是n:
L台直线的方向向量与平行：
/a÷直线的方向向量与垂直·
我们可以按照如下方法证明平面与平面平行（重合）或垂直：
设平面α的法向量为d,平面的法向量为，
al/B(或a与重合)÷d/t:
aLB台
或
∫1≤B
⊥a
那么问题来了，如何确定已知平面的法向量？
【例题】已知点A(1,2,2),B(2,5,4,，C(0,1,3),求平面ABC的法向量.
【解析】由已知得：
A2=1,3,2),BC=(-2,-4,-1),
设平面ABC的法向量为元=(8，，)，则有：
言.=0今
0+3y+22=0
R.Bo=0
-2e-4划-z=0
解上述方程组得：花：y:之=5：-3：2
为了获取一个准确且能为计算带来方便的法向量，不妨令g=5,则带入得！=一3，名=2
故平面ABC的一个法向量为元=(5，-3,2)·
下面给出一个快速确定平面法向量的方法：
第2页（共8页）】
设与平面a共面且彼此不平行的两个向量为d=(a1,2,g),元=(1,2，s),平面a的法向量为
言=(e,,动
x=a2b3 -a3b2
我们不难验证
y=agb1-a1bg是三元一次方程组
a1十a2y+ag之=0的一组特殊解
b心+b2y+bgz=0
艺=a1b2-a2b1
据此，可采取下述手段快速求解平面的法向量：
抽取出、坐标中的六个数字按下述方式排列：
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b8 b1 b2 b3
擦去首尾两列自左至右形成如下三个二阶方阵：
a2 a3
a3 a1
a1 a
bs b1'
b1 b2
按照
ab
ed
=ad-bc的计算方式依次得到三个数字a2bg-agb2,agb-a1bg,a12-a2,
则(c2bg-agb2,agb1-1bg,12-a2b)即为平面的一个法向量，特别地，当基数为整数时，按
照此种方式计算得到的法向量的坐标必为整数，可以为进一步的计算带来方便
【备注】上面的方法并非偶然，是有其独特的理论根据的，作者水平有限，无法追根溯源，在此
给出专业的解释，至于其背后的真相，读者进入大学学习数学后会接触到一种叫做行列式的东
西，它会给你答案
【拓展】
在空间直角坐标系Oxy2中，任给一个三元一次方程Ax十By十Cx十D=0①，则以它的解x,,)
为坐标的点的集合构成的是一个平面
【证明】假定P(0,0,0)是三元一次方程的一组解，则有：A0十B0十C0十D=0②，
①-②整理可得：A(x-0)+B(y-%)十C(z-0)=0③，
作向量元=(A,B,C),满足③的向量P =(x-0,y一劲，名-0)端点M的轨迹是一个平面.
3
如图，在圆锥PO中，已知PO=√2，⊙O的直径AB=2,C是AB的中点，D为AC的中点.证
明：平面POD⊥平面PAC
P
第3页（共8页）空间向量在立体几何中的应用（知识讲解）
用向量运算求解两条直线所成的角
如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否平行（或重合）、垂直来判定
直线是否平行、垂直，
设两条直线所称的角为9，则直线方向向量间的夹角与相等或互补·
设直线和2的方向向量分别为和，则有：
/2台/房；
⊥2÷⊥场：
cos0=|cos(y,2升，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角
的余弦值，
C
答案
25
解析
连接A1D,因为A1D/B1C,
所以∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角
连接BD,在△AD1B中，A1B=A1D=5,BD=4V2,
则co8∠BA1D=41B,十A0BD=25+25-32=
2A1B·AD
2×5×5
第1页（共13页)
2如图，在空间直角坐标系Oy中，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1，在AB上，乃在
CD1上，且B马=D1R=8AB
4
(1)求向量B可，D的坐标；
(2)求B与D所成的角的余弦值.
答案
(1)
服-o-,D成-o.
7
(2)
25
解析
(1)
B1,1,0),岳(，子)，D0,00),A0,,),
3
-4,-1,0=0,山.
D成=0)-a0,o)=@经).
(2)
-D网-，函D成-0x0+(-×+1x1-6
co8=
×夏=25
二、
用向量运算证明平行（垂直)
1.平面的法向量
已知平面a,如果向量的基线与平面α垂直，则向量元叫做平面α的法向量.
由平面法向量的定义可知，平面的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.
由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行，
有了上面的理论做保障，我们可以按照如下方法证明直线与平面平行或垂直：
设一直线L,一平面α的法向量是元：
Lα台直线的方向向量与平行：
第2页（共13页）
/a台直线的方向向量与元垂直
我们可以按照如下方法证明平面与平面平行（重合）或垂直：
设平面α的法向量为就，平面的法向量为，
al/B(或a与重合)÷d/:
aLB÷
I≤B
U⊥B
l⊥a
那么问题来了，如何确定已知平面的法向量？
【例题】已知点A(1,2,2),B(2,5,4),C(0,1,3),求平面ABC的法向量.
【解析】由知得
A=1,3,2),Bd=（-2,-4,-1),
设平面ABC的法向量为元=(，，)，则有：
了
0{
m+3y+2z=0
R.Bd=0
-2x-4y-名=0
解上述方程组得：花：y:名=5：-3：2，
为了获取一个准确且能为计算带来方便的法向量，不妨令，=5，则带入得y=一3，名=2
故平面ABC的一个法向量为元=(5，-3,2)
下面给出一个快速确定平面法向量的方法：
设与平面共面且彼此不平行的两个向量为=(a1,a2,g),寸=(，b2,s),平面a的法向量为
=(,
x =a2b3 -a3b2
我们不难验证
y=as1-a1是三元一次方程组
a1x十a2y+ag名=0的一组特殊解.
z=a1b2 -a261
b12+b2y+b3z=0
据此，可采取下述手段快速求解平面的法向量：
抽取出、坐标中的六个数字按下述方式排列：
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b8 b1 b2 b3
擦去首尾两列自左至右形成如下三个二阶方阵：
a2 a3
as a1
al a2
2g·
6s 61
b1 b2
按照
=ad-bc的计算方式依次得到三个数字a2bg-agb2,agb1-a1bs,a1b2一a2b1
则(a2s一asb2,gb1一1bg,1b2一a2b)即为平面a的一个法向量，特别地，当基数为整数时，按
照此种方式计算得到的法向量的坐标必为整数，可以为进一步的计算带来方便】
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