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双曲线的标准方程（知识讲解）
双曲线的定义
平面内与两个定点团，的距离的差的绝对值等于常数（小于引可且不等于零）的点的轨迹
(或集合)叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距
【思考】
(1)平面内与两个定点可，的距离的差的绝对值等于的点的轨迹是什么？
(2)平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于0的点的轨迹是什么？
二、
双曲线的标准方程
下面求解双曲线的标准方程
【条件】双曲线的焦距=2c,双曲线上任意一点P满足P|-|Pl=2a(c>a>0),求
P点的轨迹方程
以过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系Oy,,此
时，焦点E,的坐标分别为(-c0),(G0).
仿照上节求解椭圆的标准方程的步骤（此处略去），最终的化简结果为：
兰-5=1a>0,b>0),我们称其为双曲线的标准方程
它所表示的双曲线，左右焦点在x轴上且关于原点对称，坐标分别为(-c,0),( ，0)，这里
c2=a2+2.
同样，如果双曲线的焦点在轴上，则上下焦点分别为(0， )，2(O,一c),此时将上述标准方程
中的e点换航可以得到它的方程影-带=1>06>0，其中一-c2】
这就是焦点位于轴上且关于原点对称的双曲线的标准方程
【补充说明】
(1)求解双曲线方程时，最好先根据题目条件判断焦点的位置，然后待定标准方程，再根据题
目条件求解出a,b,c三者中的任意二者即可.
第1页（共3页）
(2)当题目中给定的条件为双曲线上的定点坐标而又不确定双曲线的焦点位置的，可以待定双
曲线的方程为mx2-ny=1(mn>0),然后将点坐标带入方程求解参数即可.
双曲线方程为x2-22=1,则它的右焦点坐标为（)
A学0
8(g
c
D.(√3,0)
答案
C
解析
将双重线的方程为标雀方形试-雪-12=1，-c=V尽+-婚右
焦点坐标为(，)
2
已知双曲线的焦点在轴上，且a+c=9,b=3,则双曲线的标准方程是
答案
2
2
16
9
=1
解析
6=3,2=a2+9,又：a+c=9,∴c=5,a=4.双曲线的标准方程是护-之
i6-9=1.
P是双曲线兰-=1止一点，乃、风是双曲线的两个焦点，且P1=17,求PR的值
64-36
答案
33
解析
双曲线-=1中，a=8,b=6,故c=10
由P是双曲线上一点，得引P-P=16.
.P2=1或P=33
又Pl≥c-a=2,得P=33.
4
求焦点在轴上，焦距为6，过定点A(1,4)的双曲线的标准方程·
第2页（共3页）双曲线的标准方程（知识讲解）
双曲线的定义
平面内与两个定点团，的距离的差的绝对值等于常数（小于引可且不等于零）的点的轨迹
(或集合)叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距
【思考】
(1)平面内与两个定点可，的距离的差的绝对值等于的点的轨迹是什么？
(2)平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于0的点的轨迹是什么？
二、
双曲线的标准方程
下面求解双曲线的标准方程
【条件】双曲线的焦距=2c,双曲线上任意一点P满足P|-|Pl=2a(c>a>0),求
P点的轨迹方程
以过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系Oy,,此
时，焦点E,的坐标分别为(-c0),(G0).
仿照上节求解椭圆的标准方程的步骤（此处略去），最终的化简结果为：
兰-5=1a>0,b>0),我们称其为双曲线的标准方程
它所表示的双曲线，左右焦点在x轴上且关于原点对称，坐标分别为(-c,0),( ，0)，这里
c2=a2+2.
同样，如果双曲线的焦点在轴上，则上下焦点分别为(0， )，2(O,一c),此时将上述标准方程
中的e点换航可以得到它的方程影-带=1>06>0，其中一-c2】
这就是焦点位于轴上且关于原点对称的双曲线的标准方程
【补充说明】
(1)求解双曲线方程时，最好先根据题目条件判断焦点的位置，然后待定标准方程，再根据题
目条件求解出a,b,c三者中的任意二者即可.
第1页（共2页)
(2)当题目中给定的条件为双曲线上的定点坐标而又不确定双曲线的焦点位置的，可以待定双
曲线的方程为mx2-ny=1(mn>0),然后将点坐标带入方程求解参数即可.
双曲线方程为x2-22=1,则它的右焦点坐标为()
A学0
8(g
c
D.(√3,0)
2
已知双曲线的焦点在轴上，且a+c=9,b=3,则双曲线的标准方程是
3
x22
P是双曲线4一6=1止一点，、乃是双曲线的两个焦点，且PR=17,求P的值。
4
求焦点在y轴上，焦距为6，过定点A(1,4)的双曲线的标准方程.
22
若方程飞+飞=1表示双曲线，则的取值范围是()·
5
A.(-1,1)
B.(0,+o∞)
C.[0,+o∞)
D.(-oo,-1)U(1,+o∞)
第2页（共2页）

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