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曲线与方程（知识讲解）
曲线与方程的概念
1.轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件
的点的轨迹方程.
例如，到坐标原点的距离等于1的点的轨迹是单位圆，对应的方程是x2+2=1;到坐标轴距离相
等的点的轨迹是两条垂直的直线，对应的方程是=士x,
一个二元方程总可以通过移项写成F(,)=0的形式，其中F(,)是关于，的代数表达式.例
如，y=x2可以写成F(x,)=x2-y=0,y=土x可以写成F(e,)=需士y=0·
2.曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与二元方程F(,)=0之间具有如下的关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,)=0的解；
(2)以方程F(x,)=0的解作为坐标的点都在曲线C上.
则曲线C叫做方程F(c,)=0的曲线.方程F(,)=0叫做曲线C的方程.
也可以说曲线C的方程是F(,)=0,进一步有M(,)∈C÷F(,)=0
这样，方程F(,)=0就从代数角度描述了曲线C的特征性质，从而利用集合的特征性质描述
法，曲线C可以描述为C={M(,训F(,)=0},简写为C:F(,)=0
在这两个概念的定义下，曲线C上的点M(x,)就与方程F(,)=0的实数解构成了一一对应的关
系
求解曲线的方程
下面我们通过实例体会如何求解具有特定描述的曲线的方程
【例题】已知线段AB=6,平面上的P点满足PA=2PB,求P点的轨迹方程，
第1页（共5页）
【分析与解】由于曲线方程是要依赖于坐标系存在的，因此题目中若没有给我们提供平面直角坐
标系，那我们需要自行构建平面直角坐标系，构建坐标系的原则见【补充说明】
①建立适当的平面直角坐标系：以线段AB所在的直线为轴，线段AB中垂线为轴建立如下图的
平面直角坐标系，此时有A(-3,0),B(3,0)
A
O
B
②将已知条件代数化：设P(c,),根据题意有PA=2PB,下面要将线段PA与PB的长度与点P的
坐标关联起来，根据两点之间的距离公式，有：
PA=√：-(-32+y-02=√(z+3)2+,同理PB=√(c-3)2+.则题目中的条件
PA=2PB等价为代数表达式√(z+3)2+2=2V-3)2+r.
③整理化简表达式：
上式形式太过复杂，而且我们无法由表达式知悉点P的轨迹所具有的几何特性，因此要对其进行
化简·
【友情提示】
此处需要注意的是：整理和化简的每一步必须保证是恒等变换，否则就会出现丢解与多解的情
况
Ve+3)2+=2Ve-32+y
两边平方：
(e+3)2+2=4(e-3)2+;
移项展开合并同类项：
第2页（共5页）曲线与方程（知识讲解）
曲线与方程的概念
1.轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件
的点的轨迹方程.
例如，到坐标原点的距离等于1的点的轨迹是单位圆，对应的方程是x2+2=1;到坐标轴距离相
等的点的轨迹是两条垂直的直线，对应的方程是=士x,
一个二元方程总可以通过移项写成F(,)=0的形式，其中F(,)是关于，的代数表达式.例
如，y=x2可以写成F(x,)=x2-y=0,y=土x可以写成F(e,)=需士y=0·
2.曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与二元方程F(,)=0之间具有如下的关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,)=0的解；
(2)以方程F(x,)=0的解作为坐标的点都在曲线C上.
则曲线C叫做方程F(c,)=0的曲线.方程F(,)=0叫做曲线C的方程.
也可以说曲线C的方程是F(,)=0,进一步有M(,)∈C÷F(,)=0
这样，方程F(,)=0就从代数角度描述了曲线C的特征性质，从而利用集合的特征性质描述
法，曲线C可以描述为C={M(,训F(,)=0},简写为C:F(,)=0
在这两个概念的定义下，曲线C上的点M(x,)就与方程F(,)=0的实数解构成了一一对应的关
系
求解曲线的方程
下面我们通过实例体会如何求解具有特定描述的曲线的方程
【例题】已知线段AB=6,平面上的P点满足PA=2PB,求P点的轨迹方程，
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【分析与解】由于曲线方程是要依赖于坐标系存在的，因此题目中若没有给我们提供平面直角坐
标系，那我们需要自行构建平面直角坐标系，构建坐标系的原则见【补充说明】
①建立适当的平面直角坐标系：以线段AB所在的直线为轴，线段AB中垂线为轴建立如下图的
平面直角坐标系，此时有A(-3,0),B(3,0)
A
O
B
②将已知条件代数化：设P(c,),根据题意有PA=2PB,下面要将线段PA与PB的长度与点P的
坐标关联起来，根据两点之间的距离公式，有：
PA=√：-(-32+y-02=√(z+3)2+,同理PB=√(c-3)2+.则题目中的条件
PA=2PB等价为代数表达式√(z+3)2+2=2V-3)2+r.
③整理化简表达式：
上式形式太过复杂，而且我们无法由表达式知悉点P的轨迹所具有的几何特性，因此要对其进行
化简·
【友情提示】
此处需要注意的是：整理和化简的每一步必须保证是恒等变换，否则就会出现丢解与多解的情
况
Ve+3)2+=2Ve-32+y
两边平方：
(e+3)2+2=4(e-3)2+;
移项展开合并同类项：
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