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双曲线的几何性质（知识讲解）
范围
由方程
a2-
萨=1(a>0,6>)可知，双曲线C上任意一点的坐标M(,)都适合不等式
23
≥1，即.2≥c2,解得≥aVz<-a
因此双曲线C位于两条直线x=和x=-a所夹平面区域的外侧，如下图：
y不
A
A
0
F
二、
对称性
类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为
对称中心的中心对称图形.这个对称中心叫做双曲线的中心.
三、
顶点
标准方程中，令y=0→=士a,可知双曲线C与轴有两个交点，分别是A1(-a,0)和A2(a,0).
令x=0,得=一2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点·
如下图：
第1页（共5页）
y
B:-
A
A
0
F2
X
双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.双曲线C的顶点是A1(-a,0)和A2(a,0),这
两个顶点是双曲线两支中相距最近的点.线段4142叫做双曲线的实轴，它的长度等于2a·同时在
轴上作点B1(0,-b1),B2(0,),线段B1B叫做双曲线的虚轴，它的长度等于2b,相应地，a和b
分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长
四、渐近线
下面研究双曲线与一对相交直线划=士：的位置关系
a
由于双曲线与y=士都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即可.
此时双曲线方程可等价变形为y=V-Ce>),
y-名-G直线=的下方。
如图：
第2页（共5页）
P
M
过M作直线y=
。的垂线MP,根据点到直线的距离公式，M点到直线y=
。的距离
MP=
lx-
a26
1
v1+a2
=√a2+6'2+V@2-a
=f(),
单独考察分母云+V-。,当e>时，+V-a随着的增大而增大，故】
+@-a随
着的增大而减小，故有当x越来越大时，MP越来越接近于0
M从双曲线的右顶点沿着第一象限的路径向右上方移动时，点M与直线，=。
近
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线划=下方，且与直线划=。越来
a
越接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称这种微妙的关系
为渐近”.把直线y=±叫做双曲线的渐近线
【补充说明】
(1)利用渐近线和双曲线的位置关系，我们可以较精确地画出双曲线，即先画出双曲线的渐近
线，然后再画双曲线；
(2)焦点在x轴上的双曲线
2
22
=1的渐近线方程是划=士°x;焦点在轴上的双曲线
a
22
2一产=1的渐近线的方程是y=土。
(3)双曲线的一般方程可写为mx2-ny=入（m>0,入≠0)，要求其渐近线方程，只需令
入=0，解得影=土，俨即为双曲线的渐近线方程
(4)承接上一点，已知渐近线方程为y=士的双曲线的方程可预设为2x2一=λ（入≠0），这
样就避免了对焦点位置的讨论
第3页（共5页）双曲线的几何性质（知识讲解）
范围
由方程
a2-
萨=1(a>0,6>)可知，双曲线C上任意一点的坐标M(,)都适合不等式
23
≥1，即.2≥c2,解得≥aVz<-a
因此双曲线C位于两条直线x=和x=-a所夹平面区域的外侧，如下图：
y不
A
A
0
F
二、
对称性
类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为
对称中心的中心对称图形.这个对称中心叫做双曲线的中心.
三、
顶点
标准方程中，令y=0→=士a,可知双曲线C与轴有两个交点，分别是A1(-a,0)和A2(a,0).
令x=0,得=一2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点·
如下图：
第1页（共6页）
y
B:-
A
A
0
F2
X
B
双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.双曲线C的顶点是A1(-a,0)和A2(a,0),这
两个顶点是双曲线两支中相距最近的点.线段4142叫做双曲线的实轴，它的长度等于2a·同时在
轴上作点B1(0,-b1),B2(0,),线段B1B叫做双曲线的虚轴，它的长度等于2b,相应地，a和b
分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长
四、渐近线
下面研究双曲线与一对相交直线划=士：的位置关系
a
由于双曲线与y=士都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即可.
此时双曲线方程可等价变形为y=V-Ce>),
y-名-G直线=的下方。
如图：
第2页（共6页）
P
M
过M作直线y=
。的垂线MP,根据点到直线的距离公式，M点到直线y=
。的距离
MP=
lx-
a26
1
v1+a2
=√a2+6'2+V@2-a
=f(),
单独考察分母云+V-。,当e>时，+V-a随着的增大而增大，故】
+@-a随
着的增大而减小，故有当x越来越大时，MP越来越接近于0
M从双曲线的右顶点沿着第一象限的路径向右上方移动时，点M与直线)=。
近
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线划=下方，且与直线划=。越来
a
越接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称这种微妙的关系
为渐近”.把直线y=±叫做双曲线的渐近线
【补充说明】
(1)利用渐近线和双曲线的位置关系，我们可以较精确地画出双曲线，即先画出双曲线的渐近
线，然后再画双曲线；
(2)焦点在x轴上的双曲线
2
a2 b2
=1的渐近线方程是划=士°x;焦点在轴上的双曲线
a
22
2一产=1的渐近线的方程是y=土。
(3)双曲线的一般方程可写为mx2-ny=入（m>0,入≠0)，要求其渐近线方程，只需令
入=0，解得影=土，俨即为双曲线的渐近线方程
(4)承接上一点，已知渐近线方程为y=士的双曲线的方程可预设为2x2一=λ（入≠0），这
样就避免了对焦点位置的讨论
第3页（共6页）

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