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抛物线的标准方程（知识讲解）
拋抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线(F廷)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线
的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
【补充说明】
注意括号内的限制条件，定点不在定直线上，否则动点M的轨迹将不是抛物线而是直线，
二、
抛物线的标准方程
下面我们根据抛物线的定义来求它的标准方程
过点作直线的垂线，垂足为K,以直线KF为x轴，线段KF的中垂线为轴建立平面直角坐标系
Oy,如下图：
M
K
F
设M(:,)是抛物线上任意一点，仿效之前推导椭圆和双曲线的标准方程，不难得到最终的化简结
果为r2=2pacp>0).
第1页（共3页）
上面的方程叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在：轴的正半轴上且坐标为（兮，0）
:它的准线方程是x=- ,其中是焦点到准线的距离
2
上面我们讨论的情形是定点（焦点F)在定直线（准线！）的右侧，因而得到的抛物线的标准方程
是y2=2pxp>0)
同理定点与定直线还会有其他三种位置关系，我们在此直接将标准方程给出：
焦点坐标：P(←号，0）：准线方程：2=-号：标准方程：了=-20>0叭：图像：开口向左的
抛物线
焦点坐标：F(0,):准线方程：y=号：标准方程：2=2p刚0>0)；图像：开口向上的抛物
线
焦点坐标：F(0,-)
;准线方程：y=
;标准方程：x2=-2py(p>0);图像：开口向下的抛
2
物线
【补充说明】
(1)求解抛物线的标准方程，可以先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种
标准方程中的一种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求
解出参数带回原方程即可：
(2)利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出
焦点坐标和准线方程.如抛物线=2标准化之后为：2=2·，相当=专，故焦点坐标为
（),准线方程为y-子
(3)就顶点附近的形状来说，抛物线与双曲线很相似，但是抛物线绝对不是半支双曲线，二者
的图形在遥远的地方就显示出了很大的差别，以标准方程为y2=2p心p>0)的抛物线为例，当无
逐渐增大时，抛物线向右延伸愈加平缓；而对于标准方程为兰一兰
=1(a>0,b>0)的双曲线来
说，随着的增大，曲线向渐近线的方向延伸，显然后期双曲线要比抛物线开阔得多
动圆M和直线：x=一4相切，并且经过点F(4,0),则圆心M的轨迹方程是
答案
2=16x
已知抛物线y=一4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（)
第2页（共3页）抛物线的标准方程（知识讲解）
拋抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线(F廷)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线
的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
【补充说明】
注意括号内的限制条件，定点不在定直线上，否则动点M的轨迹将不是抛物线而是直线，
二、
抛物线的标准方程
下面我们根据抛物线的定义来求它的标准方程
过点作直线的垂线，垂足为K,以直线KF为x轴，线段KF的中垂线为轴建立平面直角坐标系
Oy,如下图：
M
K
F
设M(:,)是抛物线上任意一点，仿效之前推导椭圆和双曲线的标准方程，不难得到最终的化简结
果为r2=2pacp>0).
第1页（共3页）
上面的方程叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在：轴的正半轴上且坐标为（兮，0）
；它的准线方程是x=-号，其中是焦点到准线的距离
2
上面我们讨论的情形是定点（焦点F)在定直线（准线）的右侧，因而得到的抛物线的标准方程
是y2=2pxp>0)
同理定点与定直线还会有其他三种位置关系，我们在此直接将标准方程给出：
焦点坐标：P(←号，0）：准线方程：2=-号：标准方程：了=-20>0叭：图像：开口向左的
抛物线
焦点坐标：F(0,):准线方程：y=号：标准方程：2=2p刚0>0)；图像：开口向上的抛物
线
焦点坐标：F(0,-)
；准线方程：y=
;标准方程：x2=-2py(p>0);图像：开口向下的抛
2
物线
【补充说明】
(1)求解抛物线的标准方程，可以先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种
标准方程中的一种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求
解出参数带回原方程即可：
(2)利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出
焦点坐标和准线方程.如抛物线划=2标准化之后为2=2.2，相当于=专，故焦点坐标为
（),准线方程为y-子
(3)就顶点附近的形状来说，抛物线与双曲线很相似，但是抛物线绝对不是半支双曲线，二者
的图形在遥远的地方就显示出了很大的差别，以标准方程为y2=2p心(p>0)的抛物线为例，当无
逐渐增大时，抛物线向右延伸愈加平缓；而对于标准方程为兰一兰
=1(a>0,b>0)的双曲线来
说，随着的增大，曲线向渐近线的方向延伸，显然后期双曲线要比抛物线开阔得多
动圆M和直线：x=一4相切，并且经过点F(4,0),则圆心M的轨迹方程是
已知抛物线y=一-42上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（)
A
15
B.16
C.-18
17
D.-
16
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