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直线与椭圆的位置关系（知识讲解）
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离·
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：Ax+By+C=0,椭圆方程C:(,)=0,
由{AC00消去（或消去）得：am2+加+c=0.△=-4ac,
①△>0÷相交，直线与椭圆有两个交点；
②△<0÷相离，直线与椭圆无交点：
③△=0÷相切.直线与椭圆只有一个交点·
设椭圆方程为号+7-1，直线：十V-2=0与稀圆的位置关系为()、
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上都不对
设椭圆方程为号+了=1，直线划=：一k与椭圆的位置关系为()
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切
设椭圆方程为兰+2=1，直线划=k(e-2)与椭圆相交，则的取值范围为
二、
弦长面积
1.弦长公式
连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，线段的长度简称为弦长
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求弦长的方法主要有两种：
方法1：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来
求
方法2：若直线的斜率为k,被圆锥曲线截得的弦AB两端点坐标分别为(1头)(2欢)，
则弦长1AB到=V1+.1-=V1+爬，√@1+P-41=V1+g,y区
或AB=
V断+)2-=1+
1√
1+
具体推导过程：
AB到=V(m-+(h-h)=V2-a)2+(2-P=V1+Vm-2
=√1+1-2
如果12满足一元二次方程：ax2+c十c=0,
b
则1-=V+)2-414=√-》
-4,-ye_
a
2(△>0)，
弦长A到=V1+及.团-=V1+.√a1+P-1购=V1+府，yA
al
已知椭圆
a3+
62
=1a>b>0经过点4么，)，离心率为，过点B8,0的直线与椭圆交于不
同的两点M,N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若MM=3y2
2
，求直线MN的方程
2.三角形面积
设直线AB方程为y=ke十m,P(o,0),
则d=PH=k0-6+ml
V1+k径
第2页（共5页）
ampdml
lal
V1+k2
y
H
B
5
已知椭圆五：
。+P=1(a>b>0)的左右焦点分别为局，马，离心率为为
2
点P在椭圆E
上，且△P可乃的周长为4√2+4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线1：y=龙十m与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值.
三、
中点弦
弦中点：直线被椭圆所截得的弦A的中点我们称之为弦中点，与弦中点有关的系列问题叫做中
点弦问题.用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为一1）和平分（中点坐标公式)·
弦中点的求法：设直线y=c+m与椭圆得两个交点坐标分别为A(1头)B(22),
则弦A的中点0的坐标为（色士，士”），其中生=白士)+m
22
2
1.等腰三角形
第3页（共5页）直线与椭圆的位置关系（知识讲解）
一、
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线，：Ax+By+C=0,椭圆方程C:f(,)=0,
由Az十C00消去（或消去）得：am2+加+c=0.A=8-4c,
①△>0÷相交，直线与椭圆有两个交点：
②△<0÷相离，直线与椭圆无交点：
③△=0÷相切.直线与椭圆只有一个交点·
设椭圆方程为号+子=1，直线：十V2一2=0与椭圆的位置关系为()、
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上都不对
答案
B
解析
将直线x+√2y一2=0代入椭圆，
得-2y+=1,即2Y-2wg+1=0,
2
,△=(2V②2-4×2×1=0，
·即直线与椭圆相切.
2
设椭圆方程为号+矿=1，直线划=：一与椭圆的位置关系为()
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切
答案
A
解析
法-：联立直线和椭圆{十好二1→(4+12-8云+4-4=0，
第1页（共9页）
△=(-8)2-4·(4-4)=48+16，
对任意的k,△>0恒成立
·直线和椭圆得位置关系为相交.
法二：直线=x-k=(-1)
直线过定点(1,0)，
又点1,0在椭圆号+=1的内部.
·直线与椭圆得位置关系为相交
3
设椭园方程为苦+子=1，直线=ke一2到与椭园相胶，则的取值范国为
答案
(
2w52W5、
33)
解析
联立直线和椭圆
号+2=1→（代+到2-42+4城-4=0，
「=k(x-2）
直线与椭圆相交，
:△=(-42)2-4·(2+4)·(42-49=-482+64>0，
2v32v5
解得∈(-。，。
二、
弦长面积
1.弦长公式
连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，线段的长度简称为弦长，
求弦长的方法主要有两种：
第2页（共9页）
方法1：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来
求：
方法2：若直线的斜率为k,被圆锥曲线截得的弦AB两端点坐标分别为(1头)(2)，
则弦长1AB=V+股.国-=1+及√@+P-42=V1+.区
a
或=1+-=+V+P-幼=+
2·a
具体推导过程：
1AB到=√(2-1)2+(h-h)2=Ve2-x12+(k2-k1)=V1+V2-1)2
=V√1+k21-2
如果物2满足一元二次方程：a2+bc+c=0,
al
弦长A到=V1+g.-=V1+g.V@1+-1购=V1+府，y区
a
已知椭圆之+
12
=1o>b>0经过点A(么，1)，离心率为，过点BR,0的直线与椭圆交于不
同的两点M,N·
(1)求椭圆的方程：
②)若MN=8Y2
3v2
求直线MN的方程·
答案
(1)
22
2
+3
=1
(2)
y=±2(e-3).
解析
(1)
由题意有合+后
a
解得a=,b=√，c=√，
所以椭圆方程为若+苦=1
(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，
直线MN的斜率存在，设为y=k(花-3)，
代入椭圆方程整理得(2k+1)x2-122x+182-6=0,
△=24-24>0，得<1，
设M(1,h),N(2,2）,
第3页（共9页）

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