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椭圆的几何性质（知识讲解）
已知椭圆C的标准方程为3+卡=1e>6>0),下面我利用上述方程来研究椭圆的一些几何
a2+
性质。
范围
由方程
=1(a>b>0)知，椭圆C上任意一点的坐标(，)都适合不等式
a2≤1，≤1.解得：-a≤x≤a,-b≤≤b
这说明：
①椭圆C位于直线c=士α和y=土b围成的矩形内，如下图：
X=-a
F
y=-b
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于或的函数，
此时的隐含条件是函数的定义域可由上得到
点P(e,在椭园+了-=1止，则2+4e十的最小值是
二
对称性
根据之前我们学习《曲线与方程》中的结论不难得到：
椭圆C既是分别以轴，轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图
形.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
第1页（共5页)
这个性质的直接应用如下：
若点(，)在椭圆C上，则点(-，小、(-，一小、(，一也在椭圆C上
【补充说明】
有时候研究一些问题可以依靠对称性自行创造条件，缩小研究范围，为解题带来便利，如研究“椭
圆上的动点P与原点组成线段长度的取值范围"这一问题时，可以假设P(,)(≥0，y≥0)·
三、
顶点
利用椭圆C的标准方程+
a2+
63
=1(a>6>0)可以求出它与对称轴的四个交点的坐标，即
A1(a,0),A2(-a,0),B1(0,),B2(0,-b)(如下图)，这四个点叫做椭圆的顶点，线段A1A2叫
做椭圆的长轴，它的长度等于2a;线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个
焦点在它的长轴上·a,b分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长，
2
椭圆2+
。+存=1(a>6>0)一个焦点是(1,0)，0为坐标原点，已知椭圆短轴的两个三等分点
与焦点F构成正三角形，求椭圆的方程·
与椭圆之
2+
=1（a>b>0)有相同的焦点，短轴与上述椭圆的长轴相等的椭圆的标准方程
为
4
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，长轴长与短轴长的比为√2，且过点(-√2，√)，则该椭圆
的方程是
四、离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值e=
二-叫做的离心率
离心率有如下的性质：
①e∈(0,1)：
②e越大，椭圆越扁平，e越小，椭圆越接近于圆·
第2页（共5页）
5
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（)，
A.3
B.V③
1
2
3
0.
6
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()·
A.
4
B.3
5
C.
已知点P,A分别是椭圆十
名+兰=1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B0,)满足F店.A店=0
椭圆的离心率等于（)·
A.3+1
B.6-1
c.3-1
2
2
D.6+1
2
2
8
已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点，且过点P作椭圆，当P点在半圆上移动
时，椭圆的离心率有()
A最小值号
B.最大值
2
C.最小值时
D.最大值2
1
五、
椭圆的其他性质探讨
已知横圆C的标准方程为君+兰-1a>6>0,左焦点A（-6,0,右焦点3仁0，下面我
研究一些与椭圆密切相关的常见结论：
1.焦半径
椭圆上任意一点P(x,)与焦点的连接而成的线段称为椭圆的焦半径，以右焦点为例，下面我们研
究P西长度的取值范围：
据两点之间距离公式得到P及=√（一）2+子，由椭圆的标准方程
+
，将其带入上式整理并化简得到：P=a-c.
2
=1→=2-2
a2
由此我们得到了焦半径的如下性质：
①焦半径P的长度是关于点P横坐标x的一次函数；
②由于-a≤≤a,故焦半径的长度的取值范围是[a一c,“+d,从而，椭圆上距离右焦点最远的
点是左顶点，距离右焦点最近的点是右顶点
第3页（共5页）椭圆的几何性质（知识讲解）
已知椭圆C的标准方程为3+卡=1e>6>0),下面我利用上述方程来研究椭圆的一些几何
a2+
性质.
范围
由方程
22
2+
=1(a>b>0)知，椭圆C上任意一点的坐标(，)都适合不等式
8
2≤1，≤1.解得：-a≤x≤a,-b≤y≤b
这说明：
①椭圆C位于直线c=士α和y=土b围成的矩形内，如下图：
X三-a
F2
y=-b
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于或的函数，
此时的隐含条件是函数的定义域可由上得到
点Pg,在椭园安+矿-1止，则2+a+的最小值是
答案
-4
解析
Pe,0在稀图号+寸=1止，即时=1-号（-2≤≤
22+4如+=x2+4+1-
+-号
-++1-(e+)
37
当=附，++血-(2)°-碧-
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二、
对称性
根据之前我们学习《曲线与方程》中的结论不难得到：
椭圆C既是分别以轴，轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图
形.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心，
这个性质的直接应用如下：
若点(，)在椭圆C上，则点(-花，以、（-x,一以、(，一)也在椭圆C上·
【补充说明】
有时候研究一些问题可以依靠对称性自行创造条件，缩小研究范围，为解题带来便利，如研究“椭
圆上的动点P与原点组成线段长度的取值范围这一问题时，可以假设P(x,)(x≥0，y≥0)·
三、
顶点
利用横国C9标准方程君+苦-1o>b>0呵以求出它与对称箱的四个交点的坐标，即
A1(@,0),A2(-a,0),B(0,),B2(0,-b)（如下图)，这四个点叫做椭圆的顶点，线段A1A2叫
做椭圆的长轴，它的长度等于24；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个
焦点在它的长轴上.α，分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长.
2
椭圆之
>6>0)一个焦点是F(1,0),0为坐标原点，已知椭圆短转
2
与焦点F构成正三角形，求椭圆的方程
答案
2
31
解析
设M,N为短轴的两个三等分点，如图，
第2页（共8页）
7为△MNF为正三角形，所以O=MN,即1=，名，解得影=所
x2,2
。2=2+1=4所以椭圆方程为4+号=1
3
与椭圆之2+”
3+
=1（。>b>0)有相同的焦点，短轴与上述椭圆的长轴相等的椭圆的标准方程
为
答案
226的
22
a21
4
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，长轴长与短轴长的比为√2，且过点（一√2，√，则该椭圆
的方程是
答案
8
=1或+
+
4
四、离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值c=e=C叫做椭圆的离心率
2a
离心率有如下的性质：
①e∈(0,1)；
②越大，椭圆越扁平，e越小，椭圆越接近于圆，
5
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()·
A.3
B.v③
2
3
C.
D.
1
答案
解析
2a=2×2b,a=26,e=￡=y28-0-8
26
2b
2
第3页（共8页）

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