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抛物线的几何性质（知识讲解）
范围
因为P>0,故由上述方程可知抛物线上任意一点M(e,)满足x≥0，因此抛物线严格位于轴右
侧；而目当x增大时，也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无线延伸，开口向右·
对称性
以-代替y,抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形；抛物线的
对称轴简称为抛物线的轴
有一个正三角形的两个顶点在抛物线2=2上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长
是
三、顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由y=0→花=0，故抛物线的顶点为坐标原点·
2
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线
的方程和m的值
四、离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用表示.根据抛物线的
描述定义，e=1.
五、焦半径
第1页（共2页)
任取抛物线上一点M(,),则由抛物线的定义不难得出MF=x+
2
,此为抛物线的焦半径公
式
3
抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上一点(-5,2√/⑤)到焦点的距离是6，则抛物线的方程
为().
A.2=-4x
B.y2=-2c
C.2=2x
D.2=-4c或2=-36z
4
设F为抛物线=4红的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若FA+F+F心=可，则
FA+FB+FO=
六、焦点弦
利用焦半径的公式，对于抛物线来说，假设焦点弦与抛物线的交点为A(1,助)，B(2,2),则焦
点弦长AB=AF+BF=(四+)+(+)=1十十p:特别地，通径的长度为2即，仍然
是所有焦点弦里面最短的，它的证明我们留在后面去完成·
5
已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A,B两点，AB到=12，P为抛物线
C的准线上一点，则△ABP的面积为()
A.18
B.24
C.36
D.48
6
AB是抛物线=18的一条过焦点的弦，AB=20,AD、BC垂直于轴，D、C分别为垂足，则
梯形ABCD的中位线长是()·
A.5
B.2
c.3
D.10
过抛物线=4x的焦点作直线交抛物线于A(1,ㄌ)，B(2,)两点，如果x1十2=6，那么
AB=(）.
A.10
B.8
C.6
D.4
第2页（共2页)抛物线的几何性质（知识讲解）
范围
因为p>0,故由上述方程可知抛物线上任意一点M(,)满足x≥0，因此抛物线严格位于轴右
侧；而目当x增大时，也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无线延伸，开口向右·
对称性
以-代替y,抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形；抛物线的
对称轴简称为抛物线的轴
有一个正三角形的两个顶点在抛物线=2x上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长
是
答案
4v3
三、顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由y=0→花=0，故抛物线的顶点为坐标原点·
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线
的方程和m的值.
答案
抛物线的方程为2=-8x,m的值为士2√6
解析
解法1：设抛物线方程为=-2pp>0),则焦点(-，0)，由题设可得
m2=6p,
Vm2+(8-)2=5,
解得
卫=4或{p=
.m=2w/6
m=-2W6.
第1页（共4页）
故抛物线的方程为2=一8c,m的值为士2V6
解法2：设抛物线方程为=-2p0>0),则焦点(-号，0)，
准线方程为x=
2
根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，即号+3=5，
p=4.∵抛物线方程为=-8.又点M(-3,m)在抛物线上，于是(1-22)x2-4kx-4=0
,m=士2v6.
四、离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用表示.根据抛物线的
描述定义，e=1,
五、焦半径
任取抛物线上一点M(么，)，则由抛物线的定义不难得出M下=2+号，此为抛物线的焦半径公
式
3
抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上一点(-5,2√⑤到焦点的距离是6，则抛物线的方程
为()
A.2=-4
B.2=-2x
C.y=2x
D.2=-4x或2=-36x
答案
解析
由题意知抛物线的开口向左，设抛物线方程为y=-2p(>0),则准线方程为x=号，则
2
十5=6，p=2,所以抛物线方程为y2=-4龙.
4
设F为抛物线=4红的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA+F+F心=可，则
FA+FB+FG=·
第2页（共4页）
答案
解析
设点A(A,A),B(xB,yB),C(eC,o),由题意知F(1,0),则有xA-1+EB-1+xC-1=0
即a+B+0=3所以F+Fi+F=(eA+n+20)+3×号=3+3=6
六、焦点弦
利用焦半径的公式，对于抛物线来说，假设焦点弦与抛物线的交点为A(1,h),B(2,2),则焦
点弦长AB=AF+BF=（1+)+(四+)=1++p;特别地，通径的长度为2即，仍然
是所有焦点弦里面最短的，它的证明我们留在后面去完成·
5
已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A,B两点，AB引=12，P为抛物线
C的准线上一点，则△ABP的面积为()
A.18
B.24
C.36
D.48
答案
C
解析
因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直，所以线段AB是抛物线的通径，长为2p=12,所以
1
p=6.又因为点P到AB的距离为p,所以△ABP的面积为P·2p=P=36,故选C
6
AB是抛物线=18的一条过焦点的弦，|AB=20,AD、BC垂直于轴，D、C分别为垂足，则
梯形ABCD的中位线长是()
A.5
11
B.2
c
D.10
答案
B
解析
准线x=-9
2‘
由抛物线的定义AF和BF等于点A、B到准线的距离，
则A到准线的距离加B到准线的距离=AF+BF=AB=20,
准线到袖的距离为：，
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