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直线与双曲线的位置关系（知识讲解）
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离·
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：Ax+By+C=0,双曲线C:f(x,)=0,
由(G0(或消法a)得+如+e=0
(1)若a≠0，△=b2-4ac,
①△>0相交，直线与双曲线有两个交点：
②△<0分相离，直线与双曲线无交点：
③△=0÷相切.直线与双曲线只有一个交点
(2)若a=0,得到一个一次方程，与双曲线相交，只有一个交点，此时与双曲线的渐近线平
行
所以对于双曲线来说，平行于新近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切：
因此"直线与双曲线只有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件.
讨论直线：y=+1与双曲线0：x2-2=1的公共点的个数，
2
过点A(0,2)可以作
条直线与双曲线”-苦=有且只有一个公共点
3
若直线y=x+2与双曲线x2一=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()
A←，烟
3,3
B.(5
C (5)
D.(
3,-1)
二、
向量点乘
在直线与圆锥曲线的综合题中，我们把与向量点乘、垂直与角度有关的问题称之为向量点乘问
题，这时候我们需要用到数量积的相关知识来解决此类问题
第1页（共4页）
1.垂直问题
以AB为直径的圆过原点0台0A10店台0A.0启=0台12十斯助=0，而
h的=(1+m)(2+m)=12+m(1+c2)+m2,
故0A.0启=0台2+h=(（1+2+(1+2)+m2=0.
推广：以AB为直径的圆过焦点÷乃A.乃B=0台(1十c(2+d)十头物=0
台(1+2)12+(m+c)(1+x2)+m2+c2=0
已知双曲线
a22
=1(a>0,b>0)的离心率e=2y3,直线过4a0),B0,-两点，原
点0倒直线的距离是
,.过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM.O=-23,求直线m
2
的方程.
双曲线C的中心在原点，右焦点为F(23,0),渐近线方程为g=±V3.
5
(1)求双曲线C的方程
(2)设直线1：y=kx+1与双曲线C交于A,B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原
点？
2.角度问题
(1)原点O在以AB为直径的圆内台∠A0B为钝角÷OA.O启<0台12十劲助<0
(2)原点0在以AB为直径的圆外片∠A0B为锐角÷OA.O品>0台12十劲的>0，
6
已知椭圆女+
+2=1(a>6>0)过点M(0,2),离心率e=y
a3
3
(1)求椭圆的方程；
第2页（共4页)直线与双曲线的位置关系（知识讲解）
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离·
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：Ax+By+C=0,双曲线C:fm,)=0,
由(0特（或）得+如+e=0
(1)若a≠0，△=b2-4ac,
①△>0相交，直线与双曲线有两个交点：
②△<0分相离，直线与双曲线无交点：
③△=0→相切.直线与双曲线只有一个交点
(2)若a=0,得到一个一次方程，与双曲线相交，只有一个交点，此时与双曲线的渐近线平
行
所以对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；
因此"直线与双曲线只有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件·
讨论直线：割=x+1与双曲线0：x2-y2=1的公共点的个数.
答案
当k∈(-√2，-1)U(-1,1)U(1,√②)时，直线与曲线C有两个交点；飞=土√时，直线与曲线
C切于一点；k=±1时，直线与曲线C交于一点；k∈(-o∞，-√②)U(W2,+o∞)时，直线与曲
线C没有交点，
解析
由方程组售出消去得：0-2-3光-2=0
当1-2=0，即k=士1时，=士1.
当1-2卡0，即k≠±1时，△=(-2)2+4×2(1-2)=8-4k2,
由△>0即8-42>0，得-√2由△=0即8-42=0，得歌=士√2
由△<0即8-42<0，得k<-√2或k>√2
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综上知：飞∈(-V2,-1)U(-1,1)U(1,√2)时，直线与曲线C有两个交点；k=±√2时，直线，
与曲线C切于一点；k=士1时，直线与曲线C交于一点；k∈(-oo,-√②)U(v2,十oo)时，直线
与曲线C没有交点，
2
过点A(0,2)可以作
条直线与双曲线2一
,=1有且只有一个公共点，
4
答案
4
解析
点40,2在双曲线2-=1的外部，
所以当直线与双曲线有且只有一个交点时，
与双曲线相切的有2条，与渐近线平行的也有2条，
所以过点A(0,2)可以做4条直线与双曲线有且仅有一个交点.
3
若直线y=+2与双曲线x2一=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()
A(5,
B.()
C.
D (1)
答案
D
解析
1-≠0，
{g00-2-恤-0=0
△=16k2+40(1-2)>0,
1+购=告>0，
解得
-10
21欧=是>0，
3
二、
向量点乘
在直线与圆锥曲线的综合题中，我们把与向量点乘、垂直与角度有关的问题称之为向量点乘问
题，这时候我们需要用到数量积的相关知识来解决此类问题，
1.垂直问题
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