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直线与抛物线的位置关系（知识讲解）
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离，
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：Ax+By+C=0,抛物线C:fm,)=0
由(0特（或）得+如+e=0
(1)若a≠0，△=b2-4ac,
①△>0÷相交，直线与抛物线有两个交点：
②△<0÷相离，直线与抛物线无交点：
③△=0÷相切.直线与抛物线只有一个交点
(2)若a=0,得到一个一次方程，与抛物线相交，只有一个交点，此时与抛物线的对称轴平
行
所以对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切：
因此"直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.
已知命题p椭圆的离心率e∈(0,1)，命题q:与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，
那么()·
A.pA是真命题
B.p∧(q)是真命题C.(p)Vg是真命题D.pVg是假命题
2
过点P(2,4)作直线与抛物线2=8x只有一个公共点，这样的直线有(）·
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
已知抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点F在直线x-y+1=0上
(1)求抛物线C的方程：
(2)设直线经过点A(-1,-2),且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线的方程.
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二、定点问题
1.直线过定点
(1)若直线AB过的这个点是未知的，我们知道y=+2k=(+2),因此直线过定点(-2,0)
,所以要证明直线y=kc+m过定点，只需要找到k与m之间的关系即可·
(2)若直线AB过的这个点P(m,n)是已知或可求的，那么要证明直线AB过的这个点P(m,n),只
需证明AP,BP,AB任意两个斜率相等即可
已知抛物线C:=2c(p>0)的焦点为F(1,0),点0为坐标原点，A,B是曲线C上异于o的两
点
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线0A,OB的斜率之积为-号，求证：直线AB过定点。
2+=1(a>6>)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个
形
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=-3上任意一点，过F作1MF的垂线交椭圆C于点P,
Q.证明：OM经过线段PQ的中点N,(其中O为坐标原点)
2.探究类动点
探究×××是否过定点（一般在x轴上）
解题思路：设动点坐标为(m,0),然后结合条件，将需要探究的×××转化成与1十2,12有关
的关系式，代入x1+2,12后，会得到一个含有m的代数式，然后求解即可.
6
已知椭圆C:2+
4+2=的焦点分别为A,乃，
(1)求以线段为直径的圆的方程；
(2)过点P(4,0)任作一条直线与椭圆C交于不同的两点M,N在x轴上是否存在点Q,使得
∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
第2页（共3页)直线与抛物线的位置关系（知识讲解）
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离·
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：Ax+By+C=0,抛物线C:fm,)=0,
由(0特（或）得+如+e=0
(1)若a≠0，△=b2-4ac,
①△>0÷相交，直线与抛物线有两个交点：
②△<0÷相离，直线与抛物线无交点：
③△=0÷相切.直线与抛物线只有一个交点
(2)若a=0,得到一个一次方程，与抛物线相交，只有一个交点，此时与抛物线的对称轴平
行
所以对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切：
因此"直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件·
已知命题p椭圆的离心率e∈(0,1)，命题q:与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，
那么()·
A.pA是真命题
B.p∧(q)是真命题C.(p)Vg是真命题D.pVg是假命题
答案
B
解析
由椭圆的几何性质判断：命题为真命题：
·与抛物线只有一个公共点的直线，除了抛物线的切线以外，
还有平行于对称轴的直线，
命题q为假命题；
由复合命题真值表判断得：pAg是假命题，故A错误；
p∧（一q)是真命题，故B正确；(p)Vq是假命题，故C正确：
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pVg是真命题，故D错误.
2
过点P(2,4)作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有()·
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
B
3
已知抛物线C:2=2pyp>0)的焦点F在直线x-y+1=0上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线经过点A(-1,-2),且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线的方程
答案
(1)x2=4g.
(2)直线的方程为2x+y+4=0,x一y一1=0或x=-1时，直线与抛物线C有且只有一
个公共点·
解析
(1)由抛物线方程C:x2=2py(p>0),知其焦点在轴正半轴上，
在直线一y+1=0中，令=0，得焦点坐标为F(0,1),
所以号=1，即p=2,
故抛物线C的方程是x2=4划.
(2)直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(:+1)-2,
联粒方程=出-2
消去y,得x2-4-4+8=0，
因为直线与抛物线C有且只有一个公共点，
所以△=16k2-4(8-4=0,解得k=-2或k=1.
此时直线的方程为2x+y+4=0或x一y-1=0;
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=一1，
直线与抛物线C有且只有一个公共点
综上，可得当直线的方程为2x+y+4=0,x一y-1=0或=-1时，
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