资源简介

椭圆的标准方程（知识讲解）
学习目标：
1.掌握椭圆的定义并推导椭圆的标准方程，由此体会坐标法的优点；
2.掌握椭圆标准方程的两种形式，能够借助于方程判断椭圆的焦点位置及求解三个参量的数
值：
3.能够根据题目条件求解椭圆的标准方程·
椭圆的定义
平面内与两个定点，距离之和等于常数（大于引F)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，
【补充说明】
定义中“大于乃这个条件不能忽视，倘若去掉，则点的轨迹未必是椭圆，而是其他图形，甚至
不存在满足题意的点的轨迹，具体原因请读者自行探讨总结
【条件】椭圆的焦距乃乃=2c,椭圆上任意一点P满足P+P2=2a(a>c>0),求P点的
轨迹方程.
【分析与解】
以过焦点，乃的直线为轴，线段乃的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系xOy,如下图
所示，此时，焦点，2的坐标分别为(-c,0),(G0)·
第1页（共5页）
少
M
0
F
X
设P(,)是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点P在椭圆上的充分必要条件是
PF+PF2=2a
根据平面上两点之间的距离公式，有
IPFl=V(+)2+,PFl=V(2-c)2+
因此上述条件的代数表示就是：
Ve+2++Ve-c2+=2a(*).
下面要对上式进行化简，在此我们提供如下两种思路：
【思路一】（分母有理化）】
@当x≠0时，Ve+2+≠Ve-c)2+,
(e+c2+2- -c2+
此时(*)等价于
=2a,
V(x+)2+-V(-)2+
2cx
整理得：
=2a
V(=+c)2+-V(x-d)2+
份Ve+驴+-√e-2+=
a
将上式与(*)相加得到：e+2+子=a+二：，
将上式两边平方，再整理得：
e2+r=0-e
第2页（共5页）
(a>c>0),故a2-c2>0,设=a2-c2(6>0),则上式可化为：
+F=1(a>6>0).
②当x=0时，1Pl=P=a,则由Vc+=a,得r=a2-c2=2,点M的坐标为(0，±b)
,此时M的坐标仍适合
22+=1(a>b>0).
【思路二】（暴力去根号）
尽管思路是暴力去根号，但是并不能将(*)式直接平方，需要委婉的移项之后再平方去根号，如
下：
将(*)式移项得：
Ve+c2+=2a-Ve-c)2+7,
将上式两边平方展开得：
(e+c2+y=4a2-4aVx-c2+y+(e-c2+y,
移项合并约分得：
ca=a2-aV(x-c)2+y,
再次移项平方（去根号）：
(e-c2+2=(a2-c)2,
移项整理得：
(a2-c2)x2+a22=a2(2-c2)
之后仿效①的后期工作同样可以得到：
君+若-1o>6>0
62
【补充说明】
由上述两种方法体会在化简代数表达式中去根号的技巧，
椭圆的标准方程
z2
+:-1(a>6>0)是给定椭园相关条件下化简的最终结果，我们将其称为椭圆的标准方
程，左焦点(-c,0),右焦点(c,0).三个参量之间满足的关系式为c2=a2-2(c>0).
同理，若椭圆的焦点位于轴上，即上焦点(0，c),下焦点(0，-c),则此时椭圆的标准方程为
苔*君-1a>6>0
第3页（共5页）椭圆的标准方程（知识讲解）
学习目标：
1.掌握椭圆的定义并推导椭圆的标准方程，由此体会坐标法的优点；
2.掌握椭圆标准方程的两种形式，能够借助于方程判断椭圆的焦点位置及求解三个参量的数
值：
3.能够根据题目条件求解椭圆的标准方程·
椭圆的定义
平面内与两个定点，距离之和等于常数（大于引F)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，
【补充说明】
定义中“大于及”这个条件不能忽视，倘若去掉，则点的轨迹未必是椭圆，而是其他图形，甚至
不存在满足题意的点的轨迹，具体原因请读者自行探讨总结
【条件】椭圆的焦距乃乃=2c,椭圆上任意一点P满足P+P2=2a(a>c>0),求P点的
轨迹方程.
【分析与解】
以过焦点，乃的直线为轴，线段乃的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系xOy,如下图
所示，此时，焦点，2的坐标分别为(-c,0),(G0)·
第1页（共6页）
少
M
0
F
X
设P(,)是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点P在椭圆上的充分必要条件是
PF+PF2=2a
根据平面上两点之间的距离公式，有
IPFl=V(+)2+,PFl=V(2-c)2+
因此上述条件的代数表示就是：
Ve+2++Ve-c2+=2a(*).
下面要对上式进行化简，在此我们提供如下两种思路：
【思路一】（分母有理化）】
@当x≠0时，Ve+2+≠Ve-c)2+,
(e+c2+2- -c2+
此时(*)等价于
=2a,
V(x+)2+-V(-)2+
2cx
整理得：
=2a
V(=+c)2+-V(x-d)2+
份Ve+驴+-√e-2+=
a
将上式与(*)相加得到：e+2+子=a+二：，
将上式两边平方，再整理得：
e2+r=0-e
第2页（共6页）
(a>c>0),故a2-c2>0,设=a2-c2(6>0),则上式可化为：
+F=1(a>6>0).
②当x=0时，1Pl=P=a,则由Vc+=a,得r=a2-c2=2,点M的坐标为(0，±b)
,此时M的坐标仍适合
22+=1(a>b>0).
【思路二】（暴力去根号）
尽管思路是暴力去根号，但是并不能将(*)式直接平方，需要委婉的移项之后再平方去根号，如
下：
将(*)式移项得：
Ve+c2+=2a-Ve-c)2+7,
将上式两边平方展开得：
(e+c2+y=4a2-4aVx-c2+y+(e-c2+y,
移项合并约分得：
ca=a2-aV(x-c)2+y,
再次移项平方（去根号）：
(e-c2+2=(a2-c)2,
移项整理得：
(a2-c2)x2+a22=a2(2-c2)
之后仿效①的后期工作同样可以得到：
君+若-1o>6>0
62
【补充说明】
由上述两种方法体会在化简代数表达式中去根号的技巧，
椭圆的标准方程
z2
+:-1(a>6>0)是给定椭园相关条件下化简的最终结果，我们将其称为椭圆的标准方
程，左焦点(-c,0),右焦点(c,0).三个参量之间满足的关系式为c2=a2-2(c>0).
同理，若椭圆的焦点位于轴上，即上焦点(0，c),下焦点(0，-c),则此时椭圆的标准方程为
苔*君-1a>6>0
第3页（共6页）

展开更多......

收起↑