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第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.3 总体集中趋势的估计
学案
一、学习目标
1.掌握用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数.
2会用样本的数字特征估计总体的数字特征，并结合实际合理解决问题.
3.体会样本数字特征的随机性，会用样本估计总体的思想解决问题.
二、基础梳理
1.平均数、中位数和众数的比较
优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感. 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大.
中位数 不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响. 对极端值不敏感.
众数 体现了样本数据的最大集中点. 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感.
2.频率分布直方图中的统计参数
（1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
（3）众数：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.
三、巩固练习
1.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A. B.
C. D.
2.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成如下频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )
分组
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
A.80 B.81 C.82 D.83
3.某宠物商店对30只宠物狗的体重（单位：千克）作了测量，并根据所得数据作出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗的体重的平均值大约为( )
A.15.5 B.15.6 C.15.7 D.16
4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )
A.-0.9 B.0.9 C.3.4 D.4.3
5.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，数据如下：
质量指标分组
频率 0.1 0.6 0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数分别为( )
A.60， B.40，43 C.40， D.60，43
6.某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A.70分 B.75分 C.68分 D.66分
7.下面是某实验中学一(3)班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、跑的成绩折线图(如图所示)，则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，跑的众数分别是( )
A.1.98，131，3.88 B.1.87，130，3.88 C.1.98，130，3.88 D.1.98，130，3.65
8.对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不低于7000元；②年人均食品支出不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如下表所示，年人均食品支出如图所示，则该县( )
年人均收入/元 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
A.是小康县
B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D.两个标准都未达到，不是小康县
9.（多选）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，，平均数分别为，，则下面正确的是( )
A. B. C. D.
10.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________________分.
11.从某校高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数；
（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）
12.为了解某市参加2018年全国高中数学联赛的学生的考试成绩，现从中选取60名同学，将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），回答下列问题.
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数和平均值；
（3）根据评奖规则，排名靠前的10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
13.由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据频率分布直方图所提供的信息：
（1）这一天上网学习时间在100~119min之间的学生有多少人？
（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到0.1）
（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？
答案解析
1.答案：D
解析：由已知得，，，则.故选D.
2.答案：C
解析：该班级数学测试平均分的估计值.故选C.
3.答案：B
解析：由题中频率分布直方图可知，30只宠物狗体重的平均值大约为
.故选B.
4.答案：B
解析：设20个数分别为，，…，，且，
求出的平均数，实际平均数，
求出的平均数与实际平均数的差.故选B.
5.答案：C
解析：根据题中数据可知，频率最大对应的分组为，众数约为40.设中位数为x，则，解得，中位数约为.故选C.
6.答案：C
解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和，即（分）.故选C.
7.答案：C
解析：由图中数据，可得立定跳远的中位数为1.98，跳绳的平均数为，
跑的众数为3.88.故选C.
8.答案：B
解析：由题中图表可知，年人均收入为
(元)，达到了标准①；年人均食品支出为(元)，则年人均食品支出占年人均收入的，未达到标准②.所以不是小康县.故选B.
9.答案：BC
解析：由题中频率分布直方图得，甲地区的频率为，
的频率为，所以甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数.乙地区的频率为，的频率为，所以乙地区用户满意度评分的中位数，乙地区的平均数，所以，.故选BC.
10.答案：85
解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是(分).
11.解析：（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.
因为数学竞赛成绩在的频率为，数学竞赛成绩在的频率为.
所以中位数为.
（2）这50名学生的平均成绩为.
12.解析：（1）分数在内的频率为.
补全频率分布直方图如图所示.
（2）根据频率分布直方图，可估计本次考试成绩的众数为分或分，平均值为分.
（3）根据评奖规则，排名靠前的10%的同学可以获奖，
成绩在的频率为，成绩在的频率为，估计获奖的同学需要的分数至少为（分）.
13.解析：（1）因为频数=样本容量×频率，一天上网学习时间在100~119min之间的学生所占频率为0.35，
所以这一天上网学习时间在100~119min之间的学生人数为（人）.
（2）这40位同学的线上学习时间估计值为：
.
在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，
设在区间靠近左侧的长度为x，
则，解得.
所以中位数估计值是.
（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理。

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