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等差数列的通项（知识讲解）
课程要求：
1.掌握等差数列的概念及通项公式的推导方法；
2.通过等差数列的通项公式研究等差数列的性质并能灵活运用：
3.学会等差数列的若干判断方法
等差数列的相关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母表示
由三个数a,A,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与的等差中项.利
用等差数列的定义可得：A-。=6-A,进而计算得到：A=a十6.
二、
等差数列的通项公式
一般地，如果等差数列{a}的首项是，公差是d,我们根据等差数列的定义，可以得到
a2-=d,
as -a2=d
a4-as =d,
an-an-1 =d.
将上面n-1个等式累加，得到：
(an-an-1）+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=(%-1)d
整理得到：
an =a1+(n-1)d
上式就成为等差数列的通项公式·
【补充说明】
(1)等差数列的首项1和公差称为等差数列的基本量.已知这两个基本量就可以求出一个等差
数列的任意一项.
第1页（共4页）
(2)等差数列的通项公式中含有四个变量，如果知道任意三个，就可以求出另外一个
(3)深化(1)的结论，已知等差数列中的任意两项就可确定一个二元一次方程组求出等差数列
的两个基本量
在等差数列{a}中，如果a2=4,a4=8,那么6=
2
若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a=一
3
已知数列{a}是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果a1=1,a=16,那么n十的最
小值为
在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是（）·
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.第16项
三、
等差数列的性质
若数列{a}是首项为a1,公差为d的等差数列，则{a}具有如下性质：
1.d>0,数列{a}是递增数列；d<0,数列{a}是递减数列；d=0,数列{am}是常数列：
2.d=,-=am-4m,n,k∈N),变形为an=am+(m-md(m,n∈N):
n-1 m-k
3.若m+%=p+q,则am十an=p十ag(m,n,p,q∈N);更特殊的情况，若k是m,n的等差中
项，则a是am和an的等差中项：
4.数列{入%+}是公差为λd的等差数列，以此推广，若{6}是公差为do等差数列，则
{X1n+2bn}是公差为1d+2d的等差数列：
5.下标成等差数列且公差为m的项a,a+m,aw+2m,…(亿，m∈NT)组成公差为md的等差数列.
请读者自行由等差数列的定义和通项公式推导
5
在等差数列{an}中，已知a4+as=16,则a2十a10=（）·
A.12
B.16
C.20
D.24
第2页（共4页）等差数列的通项（知识讲解）
课程要求：
1.掌握等差数列的概念及通项公式的推导方法；
2.通过等差数列的通项公式研究等差数列的性质并能灵活运用：
3.学会等差数列的若干判断方法
等差数列的相关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母表示
由三个数a,A,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与的等差中项.利
用等差数列的定义可得：A-。=6-A,进而计算得到：A=a十6.
二、
等差数列的通项公式
一般地，如果等差数列{a}的首项是，公差是d,我们根据等差数列的定义，可以得到
a2-=d,
as -a2=d
a4-as =d,
an-an-1 =d.
将上面n-1个等式累加，得到：
(an-an-1）+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=(%-1)d
整理得到：
an =a1+(n-1)d
上式就成为等差数列的通项公式·
【补充说明】
(1)等差数列的首项1和公差称为等差数列的基本量.已知这两个基本量就可以求出一个等差
数列的任意一项.
第1页（共8页）
(2)等差数列的通项公式中含有四个变量，如果知道任意三个，就可以求出另外一个
(3)深化(1)的结论，已知等差数列中的任意两项就可确定一个二元一次方程组求出等差数列
的两个基本量
在等差数列{an}中，如果g=4,a4=8,那么6=
答案
12
解析
因为a2+a6=2a4,所以a6=2a4-a2=12.
2
若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a=
答案
7
解析
设公差为d,则a-9是-号，所以c-6=2以-
2
3
已知数列{an}是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果a1=1,a=16,那么n+的最
小值为
答案
9
解析
根据等差数列的通项公式a4=a1十(n一1)d,且各项均为正整数，
即(n-1)d=15=1×15=3×5,只有当n-1=3,d=5或n-1=5,d=3
解得n=4,d=5或m=6,d=3,n+d有最小值9，故答案为：9.
在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是（)·
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.第16项
第2页（共8页）
答案
解析
.a1=40,a2=37,∴.d=37-40=-3,
'm=40+(m-1)×(-3)=-3n+43,
令4<0，则-3m+48<0,解得>14号，故第-个负数项是第15项.
三、等差数列的性质
若数列{a}是首项为a1,公差为d的等差数列，则{a}具有如下性质：
1·d>0,数列{a}是递增数列；d<0,数列{a}是递减数列；d=0,数列{am}是常数列；
2.d=-1=n-4(m,,k∈N),变形为an=an十(m-m)d(m,n∈N):
n-1
m-k
3.若m十n=p十q,则am十an=ap十ag(m,n,p,q∈N);更特殊的情况，若k是m,n的等差中
项，则a是am和an的等差中项；
4.数列[λa+是公差为λd的等差数列，以此推广，若{bn}是公差为do等差数列，则
{X1an+2bn}是公差为λ1d+2do的等差数列；
5.下标成等差数列且公差为m的项a,a%+m,a+m,(化，m∈N*)组成公差为md的等差数列.
请读者自行由等差数列的定义和通项公式推导.
5
在等差数列{an}中，已知a4+ag=16,则2十10=（）·
A.12
B.16
C.20
D.24
答案
B
解析
因为数列{an}是等差数列，所以a2+a10=a4+a8=16.
6
等差数列{an}中，a1+s=10,a4=7,则数列{an}的公差为(）。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
第3页（共8页）

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