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等比数列的前n项和（知识讲解）
课程要求：
1.理解并且掌握推导等比数列前项和公式的两种方法：整体代换法和错位相减法.
2.利用等比数列的前项和公式解决等比数列的求值问题
在学习必修一《函数模型的应用举例》时我们讲过一个国王和小麦的故事，最终国王支付给老人
的小麦应该是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和，那么如何计算呢？
这就是本节需要研究的问题：
等比数列的前n项和
对于首项为a1,公比为的等比数列{a},当q=1时，{a}为常数列，此时有Sn=na1·
当q≠1时，我们采用两种方法推导它的前n项和公式：
1.方法一（整体代换法）
由等比数列的定义，有：
a2 a1g
a8=29,
a4 =a3q
an-1=am-291
an an-19
将这n-1(m≥2)个式子两边分别相加，得：
a2+a3十…十an=(a1+a2+…an-1)q,
即
Sn-a1 =(Sn-an)9,
整理可得：
8=1-）n≥2，
1-9
验证当n=1时，显然上式也是成立的
第1页（共4页)
故8=
a1(1-q)
1-9
2.方法二（错位相减法)
Sn=a+ag +a3+...+an a +aig+ang +...+alg-1,
两边同乘q,得：
qSn=aig+ag+...+aig-1+aig",
两式相减，得
(1-q）Sn=a1-a1q.
从而得出
8=1-2g≠)
1-q
综上，我们得到了等比数列的前项和公式：
a1,9=1
Sn=
a1(a-1)
g-1,9≠1
综上，我们得到了等比数列的前项和公式：
na1,9=1
Sn=
("-1)
g-1,9≠1
设等比数列{amn}的前m项和为Sn,已知a1=2,2=4,那么So等于（)，
A.210+2
B.29-2
C.210-2
D.211-2
2
已知等比数列{an}的各项均为正数，若c1=1,s=4,则a2=一.此数列的其前n项和Sn=
3
已知腾比数列a的项和为8，且受-空则公比等于()
A号部
B.士2或1
c.
D.±V26
2
2
4
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+s=0,则下列式子中，数值不能确定的是()，
A.as
B受
C.+1
D.
as
an
第2页（共4页)
5
设公比为q(g>0)的等比数列{a}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=
二、
等比数列前n项和的性质
1.“片段和”的性质
对于公比为q(q≠1)的等比数列，记Sn为其前n项和，则Sn,Sm-S,Sm一S2,…仍是等比
数列，且公比为g
更一般的情况，连续项的和组成新数列，则该数列是公比为g的等比数列.
例如：对于公比为的等比数列{a},S为其前n项和，则Ss-S,S,-Ss,Ss-S是公比为g
的等比数列
【拓展】此性质可以拓展为“片段积”，即对于公比为g的等比数列{an},其连续n项的积组成的数
列也是等比数列，其公比为g
2.“跳跃和”的性质
若等比数列{a}共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比a·
例如：2+a4+a6十ag
a1十a3+a5十a7
3.利用前n项和公式判断等比数列
(1)若数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=nt(为常数)的形式，则{an}为常数列，满足
an=t,特别地，当t卡0时，{an}是公比为1的等比数列；
(2)若数列{an}的前n项和Sn可以写成9n=A(-1)=Aq-A（A,q为常数且q≠1)的形
式，则{a}是公比为q的等比数列，首项由A和共同确定
6
已知等比数列a.}的公比为2，并目a1+ag+s+…+a0=60,那么
a1+2十ag十.十ag9十100的值是().
A.30
B.90
C.100
D.120
对任意等比数列{a},下列说法一定正确的是()·
第3页（共4页）等比数列的前n项和（知识讲解）
课程要求：
1.理解并且掌握推导等比数列前项和公式的两种方法：整体代换法和错位相减法.
2.利用等比数列的前项和公式解决等比数列的求值问题
在学习必修一《函数模型的应用举例》时我们讲过一个国王和小麦的故事，最终国王支付给老人
的小麦应该是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和，那么如何计算呢？
这就是本节需要研究的问题：
等比数列的前n项和
对于首项为a1,公比为的等比数列{a},当q=1时，{a}为常数列，此时有Sn=na1·
当q≠1时，我们采用两种方法推导它的前n项和公式：
1.方法一（整体代换法）
由等比数列的定义，有：
a2 a1g
a8=29,
a4 =a3q
an-1=am-291
an an-19
将这n-1(m≥2)个式子两边分别相加，得：
a2+a3十…十an=(a1+a2+…an-1)q,
即
Sn-a1 =(Sn-an)9,
整理可得：
8=1-）n≥2，
1-9
验证当n=1时，显然上式也是成立的
第1页（共6页）
故8=
a1(1-q)
1-9
2.方法二（错位相减法)
Sn=a1+a2+ag+…+an=a1+aq+12+…+a1-1,
两边同乘q,得：
qSn=aig+ang+...+aig-1+aig",
两式相减，得
(1-q）Sn=a1-a1q.
从而得出
8=1-2g≠)
1-q
综上，我们得到了等比数列的前项和公式：
na1,9=1
Sn
a1(a-1)
g-1,9≠1
综上，我们得到了等比数列的前项和公式：
a1,9=1
Sn=
("-1)
-1,9≠1
设等比数列{an}的前n项和为Sm,已知a1=2,a2=4,那么S等于()，
A.210+2
B.29-2
C.210-2
D.211-2
答案
解析
根据题意，9=爱-含-2，从而8-1任二”=20二2-20-2，故选D.
a1
1-9
1-2
2
已知等比数列{a}的各项均为正数，若a1=1,ag=4,则a2=.此数列的其前n项和Sn=
答案
1:2
2:24-1
第2页（共6页）
解析
{a}等比数列an}各项均为正数，
数列{a}的公比a也为正数，
∴9=
9=2
V
.a2=19=2,
8=40=）-11-20）=2”-1.
1-q
1-2
3
已知等比数列a)的n项和为8.且受-空，则公比等于(）
S2
A助
B.±y2或41
2
c
D.±V20
2
答案
解析
q=1时，不合题意，舍去；
a(1-q)
94
9≠1时，是==5,9=士2，或=士1（舍法）.
1-g
1-4
4
设等比数列{a}的前n项和为Sn,若8a2+as=0,则下列式子中，数值不能确定的是（)·
A.
5
B.
S
Ss
C.Onti
D.
Sn+1
a3
an
Sn
答案
D
解析
.{an}为等比数列，8a+a6=0,
g=4s=-8,即q=-2,
对于A,
a5=4,
a3
对于B,
S51-q511
$=1-g
=3
对于C,
m+1=-2,
an
Sn+1=1-g1
对于D,8=1-
,随n的不同，不同.故选D·
5
设公比为q(g>0)的等比数列{a}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则g=一
第3页（共6页）

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