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观察法（知识讲解）
课程要求：
(1)掌握观察法：针对数列的若干项，通过观察分析，寻找规律并给出数列的通项公式：
(2)培养归纳总结和类比猜想的能力
若给出数列的前若干项，我们可以通过项数进行观察分析，找出共性的规律并依据规律写出这个
数列的一个通项公式（不唯一），这种方法称为观察法（不完全归纳法），
观察法经常采用的策略有如下几点：
(-1)n的调节作用
①奇偶项符号交替变化可以用(-1)”或三角函数来调节：
如-1,2，-3,4，-5,6，的通项公式可以写成am=(-1)”,%:
②奇偶项数值交替变化可以用(-1)”来调节：
如3,43,43,4…的通项公式可以写成0.=7+1”
2
③奇偶项的表达形式为乘除交替形式可以用(-1)来调节：
把(-1)放在幂指数位置就可以实现乘除的交替：
如620名42，…的通项公式可以写成.=n,a十)-少
【拓展】针对于上面的2，当然要是任性一点写成4：=3+cs受|也没问题
以此为灵感，6,5456,54,5，可以写成=5+血罗，你从中体会到归角函数的奇妙作用
了吗？
那么是否能利用（一1）”进行调节显化的数列都能用三角函数调节呢？比如①中的例子，你能否利
用三角函数的调节写出它的通项公式呢？
答案是肯定的，请自行尝试一下上面的其他例子吧
二、分式型数列
1.分析分子和分母之间的联系
第1页（共4页）
如对于数列名治…，发现分子总是比分母少1，且分母貝备的形式，故通项公式可以泻
成o=2”14
2.单独分析分子之间的联系和分母之间的联系
如对于数列5，号，8,7，分子符合通项公式2n-1,分母符合通项公式2”+1，故该数列的通
项公式可以写成an=
2m-1
2m+1
3.单独观察数列奇数项与偶数项的数值分布规律，写成分段数列的形
式
如对于数列1,2,3,4,5,8,7,16,9，·，发现奇数项满足通项公式2n-1,偶数项满足通项公式2
n,n=2k-1(k∈N）
故该数列的通项公式可以写成a=
2i,n=2k(k∈N
4.观察数列相邻项之间的关系进而写出通项公式
此时能够通过分析相邻项关系得出递推公式，然后利用递推公式求解数列通项公式，关于根据递
推公式求解数列通项公式的方法我们后面会分类讲解
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
0g品9…
(2)1,V2,月，2，.
)1,复8，
1
22-232-342-4
④0,6,10,17…
答案
n+(nEN.).
(2)an=V元(n∈N+).
(3)an=n-(m∈N+).
(4)an=
n2-n(nEN+)
n2+1
解析
n2
(0）am=+aeN+)
第2页（共4页)观察法（知识讲解）
课程要求：
(1)掌握观察法：针对数列的若干项，通过观察分析，寻找规律并给出数列的通项公式：
(2)培养归纳总结和类比猜想的能力
若给出数列的前若干项，我们可以通过项数进行观察分析，找出共性的规律并依据规律写出这个
数列的一个通项公式（不唯一），这种方法称为观察法（不完全归纳法），
观察法经常采用的策略有如下几点：
(-1)n的调节作用
①奇偶项符号交替变化可以用(-1)”或三角函数来调节：
如-1,2，-3,4，-5,6，的通项公式可以写成am=(-1)”,%:
②奇偶项数值交替变化可以用(-1)”来调节：
如3,43,43,4…的通项公式可以写成0.=7+1”
2
③奇偶项的表达形式为乘除交替形式可以用(-1)来调节：
把(-1)放在幂指数位置就可以实现乘除的交替：
如620名42，…的通项公式可以写成.=n,a十)-少
【拓展】针对于上面的2，当然要是任性一点写成4：=3+cs受|也没问题
以此为灵感，6,5456,54,5，可以写成=5+血罗，你从中体会到归角函数的奇妙作用
了吗？
那么是否能利用（一1）”进行调节显化的数列都能用三角函数调节呢？比如①中的例子，你能否利
用三角函数的调节写出它的通项公式呢？
答案是肯定的，请自行尝试一下上面的其他例子吧
二、分式型数列
1.分析分子和分母之间的联系
第1页（共3页）
如对于数列名治…，发现分子总是比分母少1，且分母貝备的形式，故通项公式可以泻
成-2”-14
2.单独分析分子之间的联系和分母之间的联系
0对于数列5,5，。，7，分子符合通项公式2n-1,分母符合通项公式2”+1，故该数列的
项公式可以写成an=
2m-1
2m+1
3.单独观察数列奇数项与偶数项的数值分布规律，写成分段数列的形
式
如对于数列1,2,3,4,5,8,7,16,9，·，发现奇数项满足通项公式2n-1,偶数项满足通项公式2
n,m=2k-1(k∈N
故该数列的通项公式可以写成a=
2i,n=2k(k∈N
4.观察数列相邻项之间的关系进而写出通项公式
此时能够通过分析相邻项关系得出递推公式，然后利用递推公式求解数列通项公式，关于根据递
推公式求解数列通项公式的方法我们后面会分类讲解
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
0台品9
(2)1,V2,月，2，.
)1,23,…
1
22-232-342-4
4)0,5,1017
已如数列子哈7品品试泻出其一个通项公试：一
3
(1)根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式，
1)@1,-1,1,-1,:@
25
2·2,2·8,9，…·
(2)
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