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等差数列的前n项和知识讲解)》
课程要求：
1.理解并等差数列前项和公式的由来一倒序相加法：
2.掌握等差数列的前项和公式，能利用其求值：
2.体会Sn和αm的联系，能够进行互相转化并借其判断等差数列.
200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+.+100=7
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+·+(50+51)=101×50=5050
我们可以从高斯的这种巧妙算法中提炼出计算等差数列前项和的方法，开始本一节课：
等差数列的前n项和
由高斯算法的启示，对于公差为的等差数列，我们用两种方式表示S:
Sn=a1+(a+d)+(a1+2d)+·+[a1+(n-1)d①
Sn=an+(an-d+(an-2d+…+[an-(n-1)d②
①+②得：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+...+(a1+an)=n(a1+an)
由此可得等差数列{am}的前n项和的公式：
Sn =n(a1+an)
2
如果带入等差数列的通项公式an=a1十(n-1)d,Sn也可以用首项a1与公差d表示，即：
Sn=na+n(n-1)d
2
【补充说明】
(1)Sn具有两种表达形式，可以与，a1,d有关，也可以与m,a1,有关，故可以根据题目条件灵
活选用
(2)求和公式3。=”(a1,+可以类比于梯形面积去记忆
2
(3)由等差数列的通项公式和前m项和公式可以抽象出五个代数量：1，d,n,a,Sn,若已知其中
的任意三个便可以求出另外的两个，即“知三求二”
第1页（共5页）
已知等差数列{an}中，2=4，a6=12,则{an}的前10项和为(）
A.90
B.100
C.110
D.120
2
已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1+ag=18,a4=7,则S0=(),
A.55
B.81
C.90
D.100
3
若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()·
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
二、
等差数列前n项和的性质
由等差数列的前n项和公式S=na1+
n(n-1)
2
,将其改写为8.=2+(-n,故可
写成4m2+Bm的形式，其中A-号，B=a1-号
若和，}的公差为0，则A-号=0，此时8是关于n的-次函数；
若{a,}的公差不为0，则A≠0，此时Sn是关于的二次函数，但是没有常数项：
上述结论又提供给我们一种判断一个数列是否为等差数列的方法
【拓展】由上面的结论，若数列{a}的前项和公式Sn是关于n的无常数项的二次函数，则{a,}是
公差不为0的等差数列，那么若数列{a}的前n项和公式Sn是关于n的含有常数项的二次函数，即
S.=An2+Bn+C(AC卡0)，此时{a}是否为等差数列呢？请读者自行研究
【答案】{an}从第二项起是等差数列，即满足an+1一4=d(n>2),d为常数.
下面的一系列结论都可以利用等差数列的通项公式和前项和公式推导出来，可以简化运算，作
为二级结论使用：
已知数列{a.}为等差数列，前n项和公式为Sn,则有
(1）Sn,S2m-Sn,S3m-S2m,.也成等差数列，公差为n2d.
(2)若Sp=Sa(p卡g,则S+g=0.
(3)若8p=q,Sa=p(p卡g),则S+g=-(p+q）·
(4)若项数为奇数，则有S=na畔·
(5)数列{}奶为等差数列，且公差为口，}公差的一-半.
第2页（共5页）等差数列的前n项和知识讲解)》
课程要求：
1.理解并等差数列前项和公式的由来一倒序相加法：
2.掌握等差数列的前项和公式，能利用其求值：
2.体会Sn和αm的联系，能够进行互相转化并借其判断等差数列.
200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+.+100=7
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+·+(50+51)=101×50=5050
我们可以从高斯的这种巧妙算法中提炼出计算等差数列前项和的方法，开始本一节课：
等差数列的前n项和
由高斯算法的启示，对于公差为的等差数列，我们用两种方式表示S:
Sn=a1+(a+d)+(a1+2d)+·+[a1+(n-1)d①
Sn=an+(an-d+(an-2d+…+[an-(n-1)d②
①+②得：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+...+(a1+an)=n(a1+an)
由此可得等差数列{am}的前n项和的公式：
Sn =n(a1+an)
2
如果带入等差数列的通项公式an=a1十(n-1)d,Sn也可以用首项a1与公差d表示，即：
Sn=na+n(n-1)d
2
【补充说明】
(1)Sn具有两种表达形式，可以与，a1,d有关，也可以与m,a1,有关，故可以根据题目条件灵
活选用
(2)求和公式3。=”(a1,+可以类比于梯形面积去记忆
2
(3)由等差数列的通项公式和前m项和公式可以抽象出五个代数量：1，d,n,a,Sn,若已知其中
的任意三个便可以求出另外的两个，即“知三求二”
第1页（共8页）
1
已知等差数列{an}中，a2=4,a6=12,则{an的前10项和为()·
A.90
B.100
C.110
D.120
答案
U
解析
.ag=4,a6=12,
由等差数列的通项公式可得，d=。-2=2,
6-2
.a1=2
:50=10×2+10×9×2=110.
2
2
已知{am}为等差数列，Sm为其前n项和.若a1+ag=18,a4=7,则So=（）·
A.55
B.81
C.90
D.100
答案
D
解析
{年7{ga=m+n,4-1m,
2
故选D.
3
若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()，
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
答案
A
解析
由题意得
a1+2+ag=34，①
an+an-1+a4n-2=146,②
①+②得3(a1+an)=180,
,a1+an=60,
第2页（共8页）

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