资源简介

裂项相消法（知识讲解）
课程要求：
1.掌握常见的拆项公式和裂项的技巧
2.利用裂项相消法求解指定数列的前项和
裂项相消法的基本思想是将数列的通项拆成两项之差，进而进行累加，保证数列的无限项可以前
后抵消，只存留有限项，进而求得数列的前项和·
裂项相消法的难点有两个：
一是如何对数列的通项公式进行拆解，使之成为有规律的两项之差：
二是理清抵消的规律，准确判断消去项与保留项·
常见的裂项公式：
1.分式拆项
①若{a.}是公差为d(d≠0)的等差数列，则：
1
1 d
1
1(n+2)-n1「
1
②nn+jn+2=2nm+1m+②-2nn+)
2.无理拆项
Wn+k-√元
v√+√n+
顶+你+肉a+-V间(a+-V同
3.无理拆项
①m.!=[(n+1)-1]!=(n+1)!-n=(n+1)！-!
(m+1)-1(m+1)111
②m+项=n+1=m+1m+1-nm+1刃
已知等差数列{am}的前n项和为S,6=5,56=15,则数列
1
的前100项和为（)·
anan+1
100
99
101
A.
101
B.101
C.100
0.100
第1页（共7页）
2
正项数列{am}的前n项和Sn满足：S%-(n2+n一1)Sn-(2+m)=0,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令n=
%+1
,数列{6的前n项和为工，证明：对于任意n∈N”,都有工n<
5
(m+2)2a品
3
已知数列an=
n(%+1)%+2)
求它的前m项和Sn·
4
已知数列{an},an+1=a+2,a1=1,数列{
一}的前n项和为
anan+
,则m=
8
5
数列{a}的通项公式an=
它的前n项和为Sn=9,则n=（)·
√n+1+vm
A.9
B.10
C.99
D.100
6
1
数列{an}的通项公式为an=
,则这个数列的前99项和Sg=
nwn+1+(n+1)√m
k+2
已知a4=和+6+1+k+2,则数列{a}中前10项和为
裂项相消法（易）（习题集）
8
已知等差数列{an}的前m项和为Sn,a6=5,S6=15,则数列
1
的前100项和为()
anan+l
100
99
A.
B.
101
101
C.
99
101
100
0
100
9
1
1
数列1,1十2‘1+2+3…1+2++
一的前n项和为（）·
A.2
2n
B.2m+1
C.%+2
D.2n+1
n+1
坑+1
0求和：，3。+3×5+5×7+…千2m-12m+1),
1
3.3
3
第2页（共7页）裂项相消法（知识讲解）
课程要求：
1.掌握常见的拆项公式和裂项的技巧
2.利用裂项相消法求解指定数列的前项和
裂项相消法的基本思想是将数列的通项拆成两项之差，进而进行累加，保证数列的无限项可以前
后抵消，只存留有限项，进而求得数列的前项和·
裂项相消法的难点有两个：
一是如何对数列的通项公式进行拆解，使之成为有规律的两项之差：
二是理清抵消的规律，准确判断消去项与保留项·
常见的裂项公式：
1.分式拆项
①若{a.}是公差为d(d≠0)的等差数列，则：
1
1 d
1
1(n+2)-n1「
1
②nn+jn+2=2nm+1m+②-2nn+)
+iarl
2.无理拆项
v√+√n+
顶+你+肉a+-V间(a+-V同
Wn+k-√元
3.无理拆项
①m.!=[(n+1)-1]!=(n+1)!-n=(n+1)！-!
(m+1)-1(m+1)111
②m+项=n+1=m+1m+1-nm+1刃
已知等差数列{am}的前n项和为S,6=5,56=15,则数列
1
的前100项和为（)·
anan+1
100
B.101
99
101
A.
101
C.100
0.100
第1页（共27页）
答案
解析
设数列{an}的公差为d,
则a1+4址=5，品=5a1+5X4a=15,
2
得d=1,=1,故an=1+(m-1)×1=n,
所以
1
111
ananti n(n+1)nn+1'
所以w=1-+分专+…+品0一0=1-0-9
111
11
2
正项数列{an}的前n项和Sn满足：S%-(n2+n-1)Sm-(n2+n)=0,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令a=
m+1
(n+2)2a品
,数列，的前n项和为，证明：对于任意n∈N,都有红<高
答案
(1)
am=2.
(2)见解析
解析
(1)由路-(n2+n-1)8m-(n2+n)=0,
得[S-(m2+n(Sn+1)=0.
由于数列{an}是正项数列，所以Sm>0,Sn=n2+n,
于是a1=S1=2,当n≥2时，
aw=Sn-Sm-1=n2+n-(n-1)=2n.
综上可知，数列{a}的通项an=2m
2）由于aa=2n,6=，n+1
(n+2)2a品
则a=,n+1。=1[1-1
4n2m+2]2=16n2-m+2)2
1
1
1
Tn=16
11111
52+…+
11
(m-1)2(m+1)2Tn2(m+2)2
+-,1
1
16
22(m+1)2
(m+2)2
<(+)
15
3】
第2页（共27页）

展开更多......

收起↑