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函数的极值与导数（知识讲解）
课程要求：
1.掌握极值与极值点的概念，能够结合函数图像找出极值点与极值：
2.利用导数求解不含参的简单函数的极值：
3.体会导函数零点与极值点的区别和联系·
函数极值（点）的概念
观察下图(1)，我们发现，t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h()在此点
的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t=a附近函数h(t)的图像，如下图(2)所示.可以看出，'(a)=0;在t=a的附近，当
t<时，函数(t单调递增，h()>0;当t>时，函数(t)单调递减，'()<0.这就是说，在
t=a附近，函数值先增(t0)后减(t>a时，'(t)<0).这样，当t在a的附近
从小到大经过a时，'(t)先正后负，且(t)连续变化，于是有'(a)=0.
h(a-0
h
单调递增
单调递减
h(0>0
h(0<0
(1)
(2)
对于一般的函数y=(x),是否也有同样的性质呢？
第1页（共6页）
以a,两点为例，我们可以发现，函数y=f()在点=a的函数值f(a)比它在点=a附近其他点
的函数值都小，而且在点x=a附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0;类似地，函数y=f(x)在点
=的函数值fb)比它在点x=附近其他点的函数值都大，而且在点=附近的左侧(x)>0,
右侧f(x)<0
由此启发我们引出极值的概念：
已知函数y=f(e),设o是定义域内一点，如果对于xo附近的所有点x,都有f(e)f(x)在点xo处取得极大值，并把xo称为函数f()的一个极大值点：
如果对于附近的所有点x,都有f(x)>f(0),则称f(x)在点o处取得极小值，并把o称为函数
(x)的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点·
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质
【补充说明】
(1)极值是一个局部性的概念，必须在函数定义域内的连续点处取得，而且只能反映出极值点
附近的函数值分布情况，那么完全可以产生下面的效果：存在某些函数，它的极大值反而小于极
小值：
(2)若函数在某区间内有极值，则它在此区间内必不单调；反过来，若函数在某区间内不单
调，它也未必有极值（你能对此举出反例么？）·
二、
函数极值的求解
下面我们研究如何利用导数求函数的极值·
第2页（共6页）函数的极值与导数（知识讲解）
课程要求：
1.掌握极值与极值点的概念，能够结合函数图像找出极值点与极值：
2.利用导数求解不含参的简单函数的极值：
3.体会导函数零点与极值点的区别和联系·
函数极值（点）的概念
观察下图(1)，我们发现，t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h()在此点
的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t=a附近函数h(t)的图像，如下图(2)所示.可以看出，'(a)=0;在t=a的附近，当
t<时，函数(t单调递增，h()>0;当t>时，函数(t)单调递减，'()<0.这就是说，在
t=a附近，函数值先增(t0)后减(t>a时，'(t)<0).这样，当t在a的附近
从小到大经过a时，'(t)先正后负，且(t)连续变化，于是有'(a)=0.
h(a-0
单调递增
单调递减
h(0>0
h(0<0
(1)
(2)
对于一般的函数y=(x),是否也有同样的性质呢？
第1页（共10页)
以a,两点为例，我们可以发现，函数y=f()在点=a的函数值f(a)比它在点=a附近其他点
的函数值都小，而且在点x=a附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0;类似地，函数y=f(x)在点
=的函数值fb)比它在点x=附近其他点的函数值都大，而且在点=附近的左侧(x)>0,
右侧f(x)<0
由此启发我们引出极值的概念：
已知函数y=f(e),设o是定义域内一点，如果对于xo附近的所有点x,都有f(e)f(x)在点xo处取得极大值，并把xo称为函数f()的一个极大值点：
如果对于附近的所有点x,都有f(x)>f(0),则称f(x)在点o处取得极小值，并把o称为函数
(x)的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点·
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质
【补充说明】
(1)极值是一个局部性的概念，必须在函数定义域内的连续点处取得，而且只能反映出极值点
附近的函数值分布情况，那么完全可以产生下面的效果：存在某些函数，它的极大值反而小于极
小值：
(2)若函数在某区间内有极值，则它在此区间内必不单调；反过来，若函数在某区间内不单
调，它也未必有极值（你能对此举出反例么？）·
二、
函数极值的求解
下面我们研究如何利用导数求函数的极值·
第2页（共10页）

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