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函数的单调性与导数（知识讲解）
课程要求：
1.借助函数图像探究函数的单调性与导数之间的关系；
2.利用导数求解最高次项不超过三的多项式函数的单调区间：
3.能够处理导数研究函数单调性中涉及的简单的含参问题.
一、
函数的单调性与导数
(2)
观察：图1表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数(t)=一4.9t2+6.5t+10的图像，图2
表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数v()=()=一9.8t+6.5的图像.运动员从起跳
到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间的增加而增加，即()是增函数.相应地，
u()=()>0
(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间t的增加而减小，即()是减函数.相应地，
()=()<0.
第1页（共5页）
(,xo)》
(x1x1》
如图，导数'(0)表示函数f(x)在点(0，f(o)》处的切线的斜率.在=处，(0)>0，切线
是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在o附近单调递增；在=1处，(x1)<0,切线是“左上右
下"式的，这时，函数f(x)在1附近单调递减
一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a,)内，如果f'()>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'()<0,
那么函数y=(x)在这个区间内单调递减
如果在某个区间内恒有f'()=0,那么函数f()有什么特性？
【例题】已知导函数(x)的下列信息：
当1<8<4时，f()>0:
当>4，或<1时，()<0：
当8=4，或=1时，(x)=0
试画出函数()图象的大致形状.
【解析】
当10,可知f()在此区间内单调递增；
当>4，或<1时，(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当花=4，或=1时，(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“"临界点”·
综上，函数()图像的大致形状如下图所示：
第2页（共5页）
【补充说明】
(1)可以用曲线切线斜率来解释导数与原函数单调性的关系：
如果切线的斜率大于0，那么倾斜角是锐角，曲线呈现上升的状态，所以函数单调递增：
如果切线的斜率小于0，那么倾斜角是钝角，曲线呈现下降的状态，所以函数单调递减
(2)对于指定的区间，'(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增（减）的充分条
件而非必要条件，其实是可以有个别的点满足()=0的，所以准确的描述应该是这样：f(x)在
某个区间内单调递增（减）的充要条件是f()≥0（尹(x)≤0)且对于该区间的任一子区间导函
数都不恒为0，形象一点儿的解释就是函数的图像不许出现平台
设函数f(x)在定义域内可导，y=()的图象如图所示，则导函数y=()可能为()
B
第3页（共5页）函数的单调性与导数（知识讲解）
课程要求：
1.借助函数图像探究函数的单调性与导数之间的关系；
2.利用导数求解最高次项不超过三的多项式函数的单调区间：
3.能够处理导数研究函数单调性中涉及的简单的含参问题.
一、
函数的单调性与导数
(2)
观察：图1表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数(t)=一4.9t2+6.5t+10的图像，图2
表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数v()=()=一9.8t+6.5的图像.运动员从起跳
到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间的增加而增加，即()是增函数.相应地，
u()=()>0
(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间t的增加而减小，即()是减函数.相应地，
()=()<0.
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(x,xo》
(x1x1》
如图，导数'(0)表示函数f(x)在点(0，f(o)》处的切线的斜率.在=处，(0)>0，切线
是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在o附近单调递增；在=1处，(x1)<0,切线是“左上右
下"式的，这时，函数f(x)在1附近单调递减
一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a,)内，如果f'()>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'()<0,
那么函数y=(x)在这个区间内单调递减
如果在某个区间内恒有f'()=0,那么函数f()有什么特性？
【例题】已知导函数(x)的下列信息：
当1<8<4时，f()>0:
当>4，或<1时，()<0：
当8=4，或=1时，(x)=0
试画出函数()图象的大致形状.
【解析】
当10,可知f()在此区间内单调递增；
当>4，或<1时，f(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减：
当花=4，或=1时，(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“"临界点”·
综上，函数()图像的大致形状如下图所示：
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【补充说明】
(1)可以用曲线切线斜率来解释导数与原函数单调性的关系：
如果切线的斜率大于0，那么倾斜角是锐角，曲线呈现上升的状态，所以函数单调递增：
如果切线的斜率小于0，那么倾斜角是钝角，曲线呈现下降的状态，所以函数单调递减
(2)对于指定的区间，'(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增（减）的充分条
件而非必要条件，其实是可以有个别的点满足()=0的，所以准确的描述应该是这样：f(x)在
某个区间内单调递增（减）的充要条件是f()≥0（尹(x)≤0)且对于该区间的任一子区间导函
数都不恒为0，形象一点儿的解释就是函数的图像不许出现平台
设函数f(x)在定义域内可导，y=()的图象如图所示，则导函数y=()可能为()
B
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