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变化率与导数（知识讲解）
课程要求：
掌握平均变化率和瞬时变化率（导数）的表达式及计算方法：
函数的平均变化率
对于给定的函数y=),我们把儿）-儿2这个表达式称为函数y=fe从到，的平均变化
2一1
率.习惯上用△x表示2一1，即△x=2一1，可把△x看作是相对于知1的一个“增量”，可用
1+△代替w2;类似地，△y=f(x2)-fc1）=f(x1+△x)-f(1)·
于是平均变化率可以表示为Ay=f+△)-f)
△x
△
【补充说明】
(1)△只是一个描述增量的符号，它可以为正，可以为负，可以无限接近于0，但是不能为0，
(2)△与△的变化方向需要保持一致，即如果△=2-1，则△y=f(2)-f(花1)·
【思考】观察函数g=在)的图像（如图），平均变化率！=北）-代表示什么？
△
花2一花1
y
=f(x)
f代)
x1-f代x2)
f)
0
/3V
【例题】已知气球的半径与体积V之间的函数关系是r()=
,定义在气球内空气容量从巧
增加到对应的气球平均膨张率为p=号号
T2-T1
计算：
(1)当气球内空气容量V从0增加到1L时的平均膨胀率；
(2)当气球内空气容量V从1增加到2L时的平均膨胀率；
第1页（共6页）
(3)当气球内空气容量从增加到时的平均膨胀率表达式，并探讨当(，2增加时平均膨胀
率如何变化（答案：与和均呈正相关），
导数（瞬时变化率)的概念
有了平均变化率的概念，下面我们给出瞬时变化率的概念：
设函数y=f(x)在及其附近有定义，当自变量在=附近该变量为△时，函数值相应地
改变△y=(o十△x)-f(o)·
如果当△“趋近于0时，平均变化率Ag=e0+△)-o趋近于一个常数，那么常数称为函
△
△
数f(e)在点的瞬时变化率
当△趋近于时，儿0+△）-o趋近于一个常数可以用符号→（读作趋近于）记作：
△
当△x→0时
feo+△)-feo）→l,
△花
上述过程，通常也记作im
f0+△)-fo】=1
A工0
△
一般地，函数y=f()在x=xo处的瞬时变化率是im
△y
=lim
f(0+△x)-fo)
,我
△0△△0
△0
们称它为函数y=f(x)在=o处的导数，记作(o)或
x-o
即(o)=lim
△g=m
f0+△x)-f(o)
A20△8△g+0
△e
表示函数y关于自变量x在0处的导数，
【思考】
设乎(0)=A,试求下列极限的值
(1）1im
f(0-△x)-f(o）
△t0
△E
(2)吗
f(c0-3)-f(o)】
2k
(3)卿
f(o+4h)-f(0-3h)
2h
【拓展】
已知f(3)=(3)=2,求im
2x一3f(@的值.
+3
x-3
【提示】
2m-3f=2-31im
f()-f(3)
x-3
+3
28-3
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它
们突出地表现为本章引言中提出的四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生；一是根据
物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线
第2页（共6页）变化率与导数（知识讲解）
课程要求：
掌握平均变化率和瞬时变化率（导数）的表达式及计算方法：
函数的平均变化率
对于给定的函数y=),我们把儿）-儿2这个表达式称为函数y=fe从到，的平均变化
2一1
率.习惯上用△x表示2一1，即△x=2一1，可把△x看作是相对于知1的一个“增量”，可用
1+△代替w2;类似地，△y=f(x2)-fc1）=f(x1+△x)-f(1)·
于是平均变化率可以表示为Ay=f+△)-f)
△x
△
【补充说明】
(1)△只是一个描述增量的符号，它可以为正，可以为负，可以无限接近于0，但是不能为0，
(2)△与△的变化方向需要保持一致，即如果△=2-1，则△y=f(2)-f(花1)·
【思考】观察函数g=在)的图像（如图），平均变化率！=北）-代表示什么？
△
花2一花1
y
=f(x)
f代)
x1-f代x2)
f)
0
/3V
【例题】已知气球的半径与体积V之间的函数关系是r()=
,定义在气球内空气容量从巧
增加到对应的气球平均膨张率为p=号号
T2-T1
计算：
(1)当气球内空气容量V从0增加到1L时的平均膨胀率；
(2)当气球内空气容量V从1增加到2L时的平均膨胀率；
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(3)当气球内空气容量从增加到时的平均膨胀率表达式，并探讨当(，2增加时平均膨胀
率如何变化（答案：与和均呈正相关），
导数（瞬时变化率)的概念
有了平均变化率的概念，下面我们给出瞬时变化率的概念：
设函数y=f(x)在及其附近有定义，当自变量在=附近该变量为△时，函数值相应地
改变△y=(o十△x)-f(o)·
如果当△“趋近于0时，平均变化率Ag=e0+△)-o趋近于一个常数，那么常数称为函
△
△
数f(e)在点的瞬时变化率
当△趋近于时，儿0+△）-o趋近于一个常数可以用符号→（读作趋近于）记作：
△
当△x→0时
feo+△)-feo）→l,
△花
上述过程，通常也记作im
fo+△)-fo】=1
A工0
△
一般地，函数y=f()在x=xo处的瞬时变化率是im
△y
=lim
f(0+△x)-fo)
,我
△0△△0
△0
们称它为函数y=f(x)在=o处的导数，记作(o)或
x-o
恕-品
即(o)=lim
f0+△x)-f(o)
△e
表示函数y关于自变量x在0处的导数，
【思考】
设乎(0)=A,试求下列极限的值
(1）1im
f(0-△x)-f(o）
△t0
△E
(2)吗
f(c0-3)-f(o)】
2k
(3)卿
f(o+4h)-f(0-3h)
2h
【拓展】
已知f(3)='(3)=2,求im
2x-3f(@的值.
+3
x-3
【提示】
2m-3f=2-31im
f()-f(3)
x-3
+3
28-3
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它
们突出地表现为本章引言中提出的四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生；一是根据
物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线
第2页（共11页)

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