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导数与不等式综合（知识讲解）
课程要求：
1.利用导数解决简单的恒（能）成立（参变分离）问题：
2.利用导数研究函数的零点（方程的根）的个数问题：
3.利用导数证明不等式
恒成立（参变分离）问题
在解决恒成立问题之前，我们先要学会解读各种描述语言的代数转化方法：
(下面的一系列结论都是以函数在给定区间上可导为前提)
1.函数f()在给定区间上单调递增（减）÷f()>0(f()<0)
【备注】严格讲应该是(x)≥0(()≤0)，对于取等最好单独检验
2.函数f()在给定区间上有极值÷(x)存在“变号"零点（或者说穿轴零点，形象的说就是那种
撞到数轴上不回头的零点)·
【备注】一定是“变号”零点，即该零点左右导数符号不一致
【拓展】“函数f()在给定区间上不单调÷()存在“变号"零点"这一结论是否正确？
【答案】不正确，还有可能是f(x)三c(c为常数)，
3.f(x)≥c(c为常数)恒成立片f(x)mi血≥c;
同理，f()≤c（c为常数)恒成立分f(x)mx≤c
【拓展】万一函数f()在给定区间上并无最值，那该怎么办呢？比如，函数f()=是≥对于
x>0恒成立，但是(x)此时并无最值，此时可以从集合的角度出发研究等价关系：
结合定义域容易得到f()>0恒成立（这个0不能换做更大的数），而题目的要求是f()≥恒成
立，即我们需要确定这样的c,使得x>0→x≥c,不管是从集合关系的角度出发还是构造数轴
研究区间关系，都可以得到c需要满足的条件是c≤0，
【补充说明】
(1)不要把f(x)≥c与f()的值域为[G十o∞)等价，其实f(e)≥cf(e)的值域是[C十o∞)的子集.
(2)对于涉及到函数值和常数值比较大小的恒（能）成立问题，都可以借助于集合或是数轴来
研究
第1页（共18页）
(3)对于含参函数的恒成立问题，我们常常把参数与自变量分离开来，这样转化为不含参函数
的恒成立问题（参看例伍）·
若函数g(c)=ax3+ax2+x在R上单调递增，则实数a的取值范围是
答案
[0,3]
解析
g(x)=3ae2+2ae+1,
当a=0时，g(x)=1>0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增；
当a≠0时，g(e)≥0恒成立，则a>0,且△=(2a)2-43a≤0，
解得0综上所述，的范围为0,3·
2
若函数f(x)=3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，求实数的取值范围·
答案
0<<号
解析
f()=32-6,根据题意有6>0，求出极值点为±V2死，令0<2觅<1，解得0<6<
2
3
设函数f()=r+ba2+c+d(a>0),且方程f()-9m=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线划=f(c)过原点时，求f(e)的解析式：
(2)若f(e)在(-o∞，+oo)内无极值点，求a的取值范围.
答案
(1)f(c)=x3-3x2+12x.
(2)[1,9.
解析
(1)由题意可得f(x)=ax2+2b+c.
因为f(x)-9e=ae2+2be+c-9c=0的两个根分别为1,4，
第2页（共18页）导数与不等式综合（知识讲解）
课程要求：
1.利用导数解决简单的恒（能）成立（参变分离）问题：
2.利用导数研究函数的零点（方程的根）的个数问题：
3.利用导数证明不等式
恒成立（参变分离）问题
在解决恒成立问题之前，我们先要学会解读各种描述语言的代数转化方法：
(下面的一系列结论都是以函数在给定区间上可导为前提)
1.函数f()在给定区间上单调递增（减）÷f()>0(f()<0)
【备注】严格讲应该是(x)≥0(()≤0)，对于取等最好单独检验
2.函数f()在给定区间上有极值÷(x)存在“变号"零点（或者说穿轴零点，形象的说就是那种
撞到数轴上不回头的零点)·
【备注】一定是“变号”零点，即该零点左右导数符号不一致
【拓展】“函数f()在给定区间上不单调÷()存在“变号"零点"这一结论是否正确？
【答案】不正确，还有可能是f(x)三c(c为常数)，
3.f(x)≥c(c为常数)恒成立片f(x)mi血≥c;
同理，f()≤c（c为常数)恒成立分f(x)mx≤c
【拓展】万一函数f()在给定区间上并无最值，那该怎么办呢？比如，函数f()=是≥对于
x>0恒成立，但是(x)此时并无最值，此时可以从集合的角度出发研究等价关系：
结合定义域容易得到f()>0恒成立（这个0不能换做更大的数），而题目的要求是f()≥c恒成
立，即我们需要确定这样的c,使得x>0→x≥c,不管是从集合关系的角度出发还是构造数轴
研究区间关系，都可以得到c需要满足的条件是c≤0，
【补充说明】
(1)不要把f(x)≥c与f()的值域为[G十o∞)等价，其实f(e)≥cf(e)的值域是[C十o∞)的子集.
(2)对于涉及到函数值和常数值比较大小的恒（能）成立问题，都可以借助于集合或是数轴来
研究
第1页（共5页）】
(3)对于含参函数的恒成立问题，我们常常把参数与自变量分离开来，这样转化为不含参函数
的恒成立问题（参看例五）·
若函数g(x)=ax3+aax2+x在R上单调递增，则实数a的取值范围是
2
若函数f()=x3一6bx+36在(0,1)内有极小值，求实数的取值范围·
3
设函数f()=3+a2+ce+d(a>0),且方程f(句)-9r=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线划=f(x)过原点时，求f(x)的解析式：
(2)若f(x)在(-oo,+oo)内无极值点，求a的取值范围.
知函数f(a)=x3+ar2+b:+c在x=-号与=1处都取得极
(1)求a,的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对∈【一-1,2，不等式f(x)5
已知函数f(x)=x-1-血x,对vc∈(0+∞)，f()≥x一2恒成立，求实数的取值范围.
二、
利用导数研究函数的零点（方程的根)的个数
6
求证：方程：-2血x=0呎有个根x=0,
方程x3-3x+c=0在(-2，a)(a>1)上最多有几个实数根？
8
已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点，且o>0,则a的取值范围为()·
A.(2,+∞)
B.(1,+o∞)
C.（-0∞，-2)
D.(-∞，-1)
9
已知函数f(x)=2x3-3x·
第2页（共5页)

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