资源简介

六 年 级 数 学
毕 业 总 复 习 资 料
班 级____________
姓 名____________
第一部分 数与代数
xKb1 .Com
一、数的有关概念
1．整数分为正整数、0和负整数。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数，自然数是整数的一部分。
2．用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……都是自然数，一个物体也没有就用0表示，自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。
3、小数：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一分或几份的数是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
①、小数的分类：
（1）纯小数和带小数：整数部分是o的小数叫做纯小数，整数部分不是o的小数叫做带小数。
（2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。
（3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
（4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个小数的循环节。
?(5）纯循环小数和混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从第一位开始的，叫做混循环小数。
②、计数单位：个、十、百、千·····以及十分之一、百分之一、千分之一·····都是计数单位。
③、数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。xKb1 .Com
④、十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”），? 这种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。
⑤、整数和小数数位顺序表：
数级
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
（个）
4、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
???? （1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是这个分数的分数单位。
????? （2）分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数≧1
5、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比。百分数的分数单位是1%。百分数的分母是100。
分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）；也可以表示两个数的比（两数之间的关系）。而百分数只表示一个数占另一个数的百分比（两数之间的关系），不能表示具体的数。因此百分数不带单位。
6、正数和负数：像1/3、+2、0.5、+4.5…这样的数叫做正数；像―1/2、―5.5、―6…这样的数叫做负数。正数和负数还表示两个相反意义的量。
??（不能认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数，也不能认为：一个数的前面加上“—”号这个数就是负数）。比如：“—a”这个数我们就不能判断是负数，因为a可能：是正数、是负数、0都有可能；所以我们无法判断。自然数是等于或大于0的整数，也可以说是不小于0的整数，既是非负整数。0既不是正数也不是负数，是正负数的分届线。
二、数的大小比较：
1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它们的位数，如果位数不相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大；
2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百分位上的数大那个数就大。…以此类推。
3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大；（因为分母相同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分子相同的分数相比较，分母小的那个分数大。（分子相同含有的分数单位数相同，分母小的分数分数单位就大）分子、分母都不同的分数相比较，先通分，转化成同分母分数后，再比较大小。
4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0大于一切负数，0小于一切正数。
5、两个负数相比较：如果a＞b（a、b均为正数），则－a＜－b。就是在不看负数符号的情况下：数大的那个数反而小。
三、数的读写
1．多位数的读数法则：
（1）从高位到低位，一级一级地往下读； （2）每级末尾不管有几个0，都不读； （3）其它数位有一个0或连续的几个0，都只读一个零。
2．多位数的写数法则：
（1）从高位到低位，一级一级地往下写；（2）哪一位上一个单位都没有，就在那一位上写0。
3．把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。
（1）直接改写：把一个多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法是：在“万”位或“亿”位的右下角打上小数点，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用“=”连接，。
（2）省略尾数改写成近似数（把一个多位数省略“万”或“亿”位后面的尾数）：找到“万”位或“亿”位，看“千位”或“千万位”上的数是否满5，满了5就向前一位进一，没满5就舍去，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用“≈”连接。
4、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾数按照“四舍五入法”省略，中间用“≈”
四、数的性质：新 课 标 第 一 网
1、分数的性质：分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（注意：分数的分单位有变化，分子、分母都有变化）
2、约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数小的的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。
3、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
4、小数的基本性质：小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。（注意：小数的位数有变化，精确度有变化。）
5、小数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、两位、三位···这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍···；小数点每向左移动一位、两位、三位···该数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000···。
五、分数、小数、百分数之间的互化
1．分数化小数的方法是：分子除以分母。
2．小数化分数的方法是：先看小数点后面有几位小数，就在1的后面添上几个0做分母，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的要约成最简分数。
3．小数化百分数的方法是：把小数点向右移动两位，（位数不足时用0补足）同时在后面添上“%”。
4．百分数化小数的方法是：去掉百分号，同时把小数点向左移动两位。
5．分数化百分数的方法是：先把分数化成小数（除不尽的通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
★当分数的分母是100的因数或倍数时，也可以利用分数的基本性质把分数化百分数。
6．百分数化分数的方法是：先把百分数改写成分母是100的分数，再约分成最简分数。。
7、判断一个分数能否化成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母中除了含有质因数2和5以外，不含有其它质因数，?这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有了2和5以外的其他质因数，这个分数就不能化成有限小数。
★熟记常用的分数、小数、百分数的互化：
1/2＝0.5＝50% 1/4＝0.25＝25% 3/4＝0.75＝75% 1/5＝0.2＝20%
2/5＝0.4＝40% 3/5＝0.6＝60% 4/5＝0.8＝80% 1/8＝0.125＝12.5%
3/8＝0.375＝37.5% 5/8＝0.625＝62.5% 7/8＝0.875＝87.5%
1/20=0.05=5% 1/25＝0.04＝4% 1/50=0.02=2%
六、数的整除
1．如果整数a除以整数b（b≠0）,商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果a能被b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
2．一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4．一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。
5．奇数和偶数、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，最小的偶数是0，最小的奇数是1。
6．按因数的个数可以把自然数分为质数、合数和1三类。只有因数1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数）。除了1和它本身之外还有别的因数的数叫合数。
7．质数只有两个因数，合数至少有三个因数；1既不是质数，也不是合数。
8．最小的质数是2，最小的合数是4，既是偶数又是质数的数只有2。
9．能被2整除的数的特征是：个位上是2、4、6、8、0的数，都能被2整除。
10．能被5整除的数的特征是：个位上是0或5的数，都能被5整除。
11．能被3整除的特征是：一个数，如果每一位上的数字相加的和能被3整除，这个数就能被3整除，就是3的倍数。。
12．能同时被2和3整除的数，一定是6的倍数；xKb1 .Com
能同时被2和5整除的数，个位一定是0（也就是10的倍数）；
能同时被3和5整除的数，一定是15的倍数；
能同时被2、3、5整除的数，一定是30的倍数；
能同时被2、3、5整除的最小三位数是120，最大三位数是990。
13．20以内既是奇数又是合数的数只有9和15。
14．50以内的质数有：2、3、5、7；11、13、17、19；23、29；31、37；41、43、47，共15个。
15．质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。（只有合数才能分解质因数）。
16．分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续下去，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
17．公因数只有1的两个数叫做互质数。互质的两个数不一定是质数。
18．互质数的6种特例：
（1）相邻两个自然数一定是互质数； 例如：15和16 58和59 ……
（2）相邻两个奇数一定是互质数； 例如：15和17 61和63 ……
（3）1和任意一个自然数一定是互质数； 例如：1和26 1和100 ……（4）2 和任意一个奇数一定是互质数； 例如：2和25 2和39 ……（5）两个不同的质数一定是互质数； 例如：7和13 23和31 ……
（6）一质一合，不成倍数就一定是互质数。例如：5和33 11和28 ……
19、公因数和最大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
20、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。。
21、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数一一列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个数最大公因数。也可以采用短除法。
短除法求最大公因数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所得的商就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。
22、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，把两个数的倍数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍数，其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。也可以采用短除法。
????? 短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，所 得的商写在横线下的相对应的位置，如果两个数的商是互质数，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
23．最大公因数和最小公倍数的两种特例：
（1）两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
（2）两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
七、数的运算：新|课 |标|第 | 一| 网
（一）运算的意义
1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。
2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、乘法的意义：（1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。
??????????? （2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，百分之几···是多少？
?????????? （3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。
（二）、计算法则：
1. 整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。?
2. 整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。?
3. 整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。?
4. 整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。?
5. 小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。???
6. 除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。?
7. 除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。??
8. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。?
9. 异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。?
10. 带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。?
11. 分数乘法的计算法则:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。?
12. 分数除法的计算法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
13、四则混合运算运算顺序
（三）、运算的验算方法：
? a、加法的验算方法（1）用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍。
?????????????????? ?（2）用减法验算：和—一个加数=另一个加数。
b、减法的验算方法：（1）用加法验算：差+减数=被减数。
??????????????????? （2）用减法验算：被减数—差=减数。
c、乘法的验算方法：（1）用乘法验算：调换两个因数的位置再称一遍。
???????????????? （2）用除法验算：积÷一个因数=另一个因数。
d、除法的验算方法：（1）用乘法验算：如果没有余数，商×除数=被除数，如果有余数，商×除数+余数=被除数。
???? （2）用除法验算：被除数÷商=除数??或
（被除数－余数）÷商=除数
（四）、0与1在四则运算中特性：
a+0=a???a×0=0?? 0÷a=0??a－0=a????a×1=a???a－a=0??
? a÷1=a???? 1÷a=1/a?? (在上面算式中a作除数时a≠0）?
(三)、简便计算的依据
1．加数或减数接近整数（或整十、整百、整千数……）的简便计算：（1）多加就减；（2）多减就加；（4）少减就再减。
2．去括号（或添号）法则。（用于同级运算中）
（1）在加、减法中：括号前面是加号，去掉括号不变号。
括号前面是减号，去掉括号要变号，是加变成减，是减变成加。
（2）在乘、除法中：括号前面是乘号，去掉括号不变号；
括号前面是除号，去掉括号要变号，是乘变成除，是除变成乘。
3．运算律或性质。
（1）、加法交换律：a＋b＝b＋a
（2）、加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋(b＋c)
（3）、乘法交换律：ab＝ba
（4）、乘法结合律：（ab）×c＝a×(bc)
（5）乘法分配律：（a＋b）×c＝ac＋bc 或(a－b)×c＝ac－bc
乘法分配律的逆运用：ac＋bc＝(a＋b)×c或ac－bc＝(a－b)×c
（6）、减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c
（7）、除法的运算性质（除数不为0）：a?÷(b×c)=a÷b?÷c
?? a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c
4、运算顺序：
（1）、加法和减法叫做一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
（2）、在一个没有括号的算式里，只有乘除或只有加减（只有单级运算），从左往右依次计算．即有乘除又有加减（两级混合），先乘除再加减
（3）、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。最后算括号外的。
（四）规律和性质（0除外）
1．乘法中的一些规律：
（1）一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也随着扩大或缩小相同的倍数。
（2）一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
（一扩一缩，倍数相同，积不变。）
（3）一个非零的数乘小于1的数，积就小于这个数；乘大于1的数，积就大于这个数。
2．除法中的一些规律：
（1）除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。
（2）被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。
（3）被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，这叫做商不变规律。
（4）当被除数不为零时，除数大于1，商反而小于被除数；除数小于1，商反而大于被除数。
3．小数的性质：
小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的性质。
★近似数末尾的0不能去掉。
4．分数的基本性质：
分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数值不变，这叫做分数的基本性质。
5．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。
6．比例的基本性质：
在比例中，两内项的积等于两外项的积，这叫做比例的基本性质。
八、方程
1、用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。
2、用字母代表数的作用：
（1）用字母代表任何数。（2）用字母表示常见的数量关系。（3）用字母表示运算定律。（4）用字母表示计算公式。
3、（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“·”或者省略不写。数与数相乘，乘号不能省略。
4、等式与方程：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
?解方程：求方程中未知数的过程叫做解方程。
5、等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
????（2）等式两边都乘上（或除以）同一个不为零的数，左右两边仍然相等。
? （3）根据等式的性质可以解方程。
6、列方程解应用题的步骤：
（1）找出未知数并用X表示。
（2）找出应用题中数量间的相等关系，并更具等量关系列出方程。
（3）解方程，求未知数的值。
（4）检验写答语。
7．解方程的依据：
（1）四则运算的基本关系式：
一个加数＝和－另一个加数 被减数＝减数＋差 减数＝被减数－差
一个因数＝积÷另一个因数 被除数＝商×除数 除数＝被除数÷商
（2）等式的性质：
等式的两边同时加上或减去、同时乘或除以一个相同的数（0不作除数）所得的结果仍然是等式。
（3）移项。（从等号的左边移到右边或右边移到左边）
移加作减，移减作加，移乘作除，移除作乘。
（4）比例的基本性质。（解比例的依据） 在比例中，两内项的积等于两外项的积。
九、解决问题
解决问题的一般步骤：首先理解题意，找出已知条件何所求问题；其次。分析数量关系，确定先 算什么，再算什么，最后算什么；再次，确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；最后进行检验，写出答案。
（一）、一般应用题常用数量关系
1．单价×数量＝总价 总价÷数量＝单价 总价÷单价＝数量
2．速度×时间＝路程 路程÷时间＝速度 路程÷速度＝时间
在相遇问题中：速度和×共行时间＝共行路程
共行路程÷共行时间＝速度和 共行路程÷速度和＝共行时间
3．工效×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作时间＝工效
工作总量÷工效＝工作时间
4．单产量×数量＝总产量 总产量÷数量＝单产量 总产量÷单产量＝数量
5．一倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷倍数＝一倍数 几倍数÷一倍数＝倍数
6．较小数＋相差数＝较大数 较大数－相差数＝较小数 较大数－较小数＝相差数
7．在和差问题中：较大数＝（和＋差）÷2 较小数＝(和－差)÷2
8．每份数×份数＝总数量 总数量÷份数＝每份数 总数量÷每份数＝份数
9．图上距离÷实际距离＝比例尺 图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
★注意：在计算时，通常把比例尺写成分数形式。
10．利息＝本金×利率×时间 本金＝利息÷时间÷利率
11．应纳税额＝营业额×税率 营业额＝应纳税额÷税率
税 率＝应纳税额÷营业额
（二）、分数（百分数）应用题常用的解题思路
在有分率或百分率的应用题中，首先找等量关系式（找单位“1”）方法是：先写出分率（百分率），再找是谁的几分之几（百分之几）这个谁就是单位“1”的量。与之对应的就是分率对应的量。可表达为：谁×几(百)分之几（分率）＝分率对应的量；最后将题 中对应的数据标在相对的量下，再根据关系式列式解答。
如：
有如下几种：
1、求一个数是别一个数的几（百）之几？ 前一个数÷后一个数
2、知道单位“1”（就是谁）和分率，求对应的量。 谁×几(百)分之几（分率）
也就是求一个数的几（百）分之几是多少？的问题。 用乘法
3、知道对应的量和分率，求单位“1”的量 对应量÷分率＝单位“1”的量
也就是知道一个数的几（百）分之几是多少，求这个数。 用除法或方程。
4、求一个数比另一个数多或少几（百）分之几？（大数－小数）÷“比”后的量
5、类式于：一个数比另一个数多或少几（百）分之几的问题。
（1）、已知比后的量（已知单位“1”）用乘，比单位“1”多，用1+分率。比单位“1”少，用1－分率。 表示为：单位“1”的量×（1±分率）
（2）、已知比前的量（不知单位“1”）用除， 比单位“1”多，用1+分率。比单位“1”少，用1－分率。 表示为：比前的量（对应量）÷（1±分率）；还可以用方程。
（3）、求比一个数（谁）的几（百）分之几多几（少几）是多少的问题。根据描述，列式为：谁×几(百)分之几（分率）±几
（4）已知比一个数（谁）的几（百）分之几多几（少几）是多少，求这个数（谁）的问题。根据描述，写出等量关系式：谁×几(百)分之几（分率）±几＝已知对应量。再设单位“1”（谁）为X，用方程来解。
6、不知总量，只知A、B分别完成的时间，最后求合作的问题。先假设总量为单位“1”，再求分别的效率，最后求合作所需的时间。表示为：
（1）基本情况 已知A、B分别完成时间，求合作完成时间 1÷（1/A+1/B）
如果只是完成1件工程的一半则表示为1/2÷（1/A+1/B），要注意工作总量
（2）已知A、B合作完成的时间T，和B独完成的时间，求A独完成的时间。
表示为：1÷（1/T－1/B）＝A
(3)、已知A、B分别完成时间，合作完成一段时间（N时）后，剩下的由A独完，求A还需要多少时间，表示为：[1－（1/A+1/B）×N] ÷1/A
十、比和比例
1.比的意义和性质　　（1） 比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（3）? 求比值和化简比：
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺：图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配：在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质
（1） 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
3 正比例和反比例
（1） 成正比例的量
　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示x×y=k(一定)
（3）正比例和反比例的相同点：都是两种相关联的变化量。
不同点：正比例是同扩同缩，比值一定；反比例是一扩一缩，乘积一定。
第二部分 单位换算
一、单位
（一）单位之间的进率（横线上的数是两个单位之间的进率）
1．长度单位：km 1000 m 10 dm 10 cm
★1km＝10 0000cm，1 m=100 cm
2．面积单位：km2 100 hm2 10000 m2 100 dm2 100 cm2
3．体积单位：m3 1000 dm3 1000 cm3

容积单位： L 1000 mL
4．质量单位：t 1000 kg 1000 g
5．时间单位：世纪100年12月，日24时60分60秒X|k |B | 1 . c| O |m
换算方法：高级单位的数化成低级单位的数，方法是乘进率；
低级单位的数聚成高级单位的数，方法是除以进率。
★大月每月31天，小月每月30天，平年2月有28天，全年一共365天；闰年2月有29天，全年一共366天。
★ 1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月31天；4、6、9、11月是小月，每月有30天；
★按四个季度分，1、2、3月份属第一季度，4、5、6月份是第二季度，7、8、9月份是第三季度，10、11、12是第四季度。
★闰年的判断方法：公历年份能被4整除的一般是闰年，但公历年份是整百分数的，必须能被400整除才是闰年。
★每个月分上、中、下三旬，上旬、中旬各有10天，下旬的天数大月11天，小月有10天。闰年二月下旬9天，平年8天
5、货币单位及其进率：1元=10角??? 1角=10分
（二）计量单位的改写：
1、名数的意义：计量的结果，要用数表示，并且还要带上单位的名称，通常把他们合起来叫做名数 。只带一个名称的叫单名数；带两个或两个以上单位名称的叫复名数。如：2千克50克，8平方米20平方分米5平方厘米。
?2、名数的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘，把低级单位的名 数改写成高级单位名数用进率去除。当进率是10、100、1000···是也可以把小数点向右（左）?移动一位，两位、三位···。位数不足时，用零补足。
第三部分 空间与图形
一、平面、立体图形
（一）线和角
（1）线?
* 直线?：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。?
*? 射线?：射线只有一个端点；长度无限。?
* 线段?：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。?
* 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。?
（2）角?
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。?
（2）角的分类?
锐角：小于90°的角叫做锐角。?
直角：等于90°的角叫做直角。?
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。?
平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。?
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
（二）、概念和结论
1．两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做垂足。
2．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线之间的距离处处相等。
3．角的大小与两条边叉开的大小有关，与边的长短无关。
4．三角形的特征：（1）三角形具有稳定性。（2）三角形的内角和是180°。（3）三角形的两边之和大于第三边。（4）在一个三角形中至少有2个锐角。
5．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和任意三角形。
★等腰三角形的两个底角相等。
★等边三角形是特殊的等腰三角形。
★等边三角形每个角都是60°，所以等边三角形按角分类是锐角三角形。
6．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；只有1组对边平行的四边形叫做梯形。
★平行四边形的对边相等，对角相等。
★正方形是特殊的长方形；长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
★把一个长方形框架拉成一个平行四边形，它的周长不变，面积要变小。
7．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
8．在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。
9．两端都在圆上的线段，直径最长。
10．半圆面积等于圆面积的一半；半圆周长等于圆周长的一半加直径。
11．周长相等的两个圆，面积一定相等。
12．周长相等的平面图形，圆的面积最大。
★如果圆、正方形、长方形、平行四边形的周长相等，那么圆的面积〉正方形的面积>长方形的面积＞平行四边形的面积。
13．圆的半径扩大（或缩小）若干倍，直径和周长也随着扩大（或缩小）相同的倍数；面积扩大（或缩小）的倍数是半径扩大（或缩小）倍数的平方数。
14．在一个正方形里画一个最大的圆，正方形的边长就是圆的直径；在一个长方形里画一个最大的圆，长方形的宽就是圆的直径。
15．在一个圆里画一个最大的正方形，正方形的面积等于圆的半径的平方乘2。
16．圆的周长和半径（或直径）成正比例。
17．圆的面积和半径不成比例；圆的面积和半径的平方成正比例。
18．平面图形的对称轴：
（1）等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴。
（2）长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴。
（3）等腰梯形只有1条对称轴。
（4）圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是圆的对称轴；半圆只有一条对称轴。
★一般的平行四边形不是轴对称图形。
19．长方体和正方体
（1）相同点：都有6个面，12条棱，8个顶点。
（2）不同点：长方体对面相等，对棱相等；正方体6个面都相等，并且每个面都是正方形，12条棱也都相等。
★正方体是特殊的长方体。至少需要8个小正方体才能拼成一个大的正方体
20．圆柱和圆锥：
（1）圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。
（2）如果一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么它的底面周长和高相等。
（3）圆锥的侧面展开是一个扇形。
（4）圆柱有无数条高，圆锥只有1条高。
（5）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍；圆锥体积是圆柱体积的1/3。
（6）等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥高是圆柱高的3倍；
等高等体积的圆柱和圆锥，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍。
（二）、计算公式
1．长方形：
　长方形的周长＝（长＋宽）×2 长方形的长＝周长÷2－宽
长方形的宽＝周长÷2－长
长方形的面积＝长×宽 长方形的长＝面积÷宽
长方形的宽＝面积÷长
2．正方形：
正方形的周长＝边长×4 正方形的边长＝周长÷4
正方形的面积＝边长×边长
★112＝121 122＝144 132＝169 142＝196 152＝225
162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 252＝625
3．平行四边形：
平行四边形的面积＝底×高 平行四边形的底＝面积÷高
平行四边形的高＝面积÷底
★长方形、正方形、平行四边形面积公式可以统一为：S＝ah
4．三角形：
三角形的面积＝底×高÷2 三角形的底＝面积×2÷高
三角形的高＝面积×2÷底
5．梯形：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
6．圆：
（1）已知直径，求半径：r＝d÷2； （2）已知周长，求半径：r＝c÷π÷2；
（3）已知直径，求圆的周长：c＝πd； （4）已知半径，求圆的周长：c＝2πr；
（5）已知半径，求圆的面积：S＝πr2；
（6）已知半径，求半圆的周长：c半圆＝πr＋2r；
（7）已知半径，求半圆的面积：S半圆＝πr2÷2；
（8）已知大圆半径和小圆半径，求圆环的面积：S环＝π（R2－r2）；
（9）小圆半径＋圆环的宽＝大圆半径； 大圆半径－圆环的宽＝小圆直径。
★为了提高计算速度，熟记下面这些值：
2π＝6.28， 3π＝9.42， 4π＝12.56， 5π＝15.7， 6π＝18.84， 7π＝21.98，
8π＝25.12， 9π＝28.26， 10π＝31.4， 16π＝50.24， 25π＝78.5。
在计算r2时应注意：
末尾有1个0的整数，它的平方末尾有2个0，末尾有2个0的整数，它的平方末尾有4个0，……
一位小数的平方是一个两位小数，两位小数的平方是一个四位小数，……
7．长方体和正方体：
（1）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 X k B 1 . c o m
（2）正方体的棱长总和＝棱长×12 长方体的棱长＝棱长总和÷12
（3）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
（4）正方体的表面积＝一个面的面积×6＝棱长×棱长×6
长方体的长＝体积÷宽÷高
（5）长方体的体积＝长×宽×高 长方体的宽＝体积÷长÷高
长方体的高＝体积÷长÷宽
（6）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
长方体的高＝体积÷底面积
（7）长（正）方体的体积＝底面积×高
长方体的底面积＝体积÷高
8．圆柱和圆锥
圆柱的高＝侧面积÷底面周长
（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的底面周长＝侧面积÷高
用字母表示为：S侧＝Ch＝πdh＝2πrh
（2）圆柱的表面积＝1个侧面积＋2个底面积
圆柱的高＝体积÷底面积
（3）圆柱的体积＝底面积×高
圆柱的底面积＝体积÷高
圆柱的体积，用字母表示为：V＝Sh 或V＝πr2h
长方体、正方体和圆柱的体积用字母都可以表示为：V＝Sh 新 课 标 第 一 网
圆锥的高＝体积÷1/3÷底面积
（4）圆锥的体积＝1/3×底面积×高
圆锥的底面积＝体积÷1/3÷高

圆锥的体积，用字母表示为：V＝1/3Sh 或V＝1/3πr2h
（三）、图形与方位
一 .图形的变换
1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。旋转不改变图形的形状和大小。
3.对称：两个图形，如果沿着某一条直线对折后，他们能完全重合，那么这两个图形成轴对称;如果某一个图形沿某直线折叠能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形。
二 .观查物体 我们在日常生活中接触到的大部分立体图形不是对称的，从各个角度看到的形状也是不同的。要用平面图形表示出立体图形的形状，就需要从各个不同的方向去观查物体。
三 .确定方位
1.方向：东、南、西、北、东北、东南、西南、西北、上、下、左、右、前、后等。
2.位置：人或物体在空间中的位置及人与人、人与物体、物体与物体在空间中的位置关系，一般可以用第几个加以说明，也可以利用直角坐标系把平面上的点与数对应起来，以确定平面上点的位置。
2、根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）以某一点为观测中心，标出方向，上北、下南、左西、右东；将观测点与物体所在的位置连线；用量角器测量角度，最后得出结论在哪个方向上。（2）用直尺测量两点之间的图上距离
四、确定位置
1、数对的表示方法：先表示横的方向，后表示纵的方向，即根据直角坐标系，确定某一点的坐标（x,y）.
2、数对的写法：先横向观察，在第几位就在小括号里先写几，再点上逗号；然后再纵向观察，在第几位，就在小括号里面写上几。如小青的位置在第三组，第二个座位，用数对表示为（3，2）。
3、能根据数对说出相应的实际位置。如某个同学在（5，6）这个位置。他的实际位置是，班级中（从左往右数）第五组第六个座位
4、根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）以某一点为观测中心，标出方向，上北、下南、左西、右东；将观测点与物体所在的位置连线；用量角器测量角度，最后得出结论在哪个方向上。（2）用直尺测量两点之间的图上距离
第五章 统计与概率
一 统计表
（一）意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
（二）组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
（四）制作步骤 1搜集数据 2整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。 3设计草表： 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。 4 正式制表： 把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
二 统计图
（一）意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
（二）分类
1、条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
2、折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
3、扇形统计图 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分比。 优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤： （1）先算出各部分数量占总量的百分之几。 （2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。 （3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。 （4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
（三） 可能性
1.可能性 无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能”发生的事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”发生的事件。
2.可能性的大小 在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况教多，我们就说该事件发生的可能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。
3.游戏规则的公平性 公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等

展开更多......

收起↑