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微积分基本定理（知识讲解）
课程要求：
1.掌握微积分基本定理的数学表达式（不要求证明）；
2.熟练应用微积分基本定理解决问题：
3.透过实例感受微积分基本定理的强大·
一般地，如果f(x)是区间[a,]上的连续函数，并且F(x)=f(),那么
厂'f(e=F间-Fa)
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式
为了方便，我们常常把F(-F(a)记成F():,即
[Fe海=FaE=P间-FO
微积分基本定理表明，计算定积分
f()dx的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F(c).
通常，我们可以结合导数的四则运算法则并逆用基本初等函数的求导公式找出F(x)·
【补充说明】
若被积函数为基本初等函数，则直接利用微积分基本定理即可；若被积函数较复杂，则需要先将
被积函数拆解成若干个基本初等函数的线性组合，然后利用定积分的性质将其等价成若干个基本
初等函数的定积分的线性组合，如：
f31
da
计算(2e+)de=
【拓展】
分段函数在指定区间上的定积分可以利用定积分的【性质3】将其分解为若干个定积分和的形
式
分段的标准是使每一个积分区间上的被积函数解析式确定，这样才可以找到合适的原函数.，如对
于1恤，因为a=
它，花≥0
-x,<0
第1页（共4页）
故
--a+-以--引
2
计算定积分
2+血
3
计算厂2-4到a
4
求定积分：
(1)
W-e-可-地
(2)
oeds i
2
(3)
c082z
dc.
Jo
c08e十8inE
微积分基本定理（易）（习题集）
5
计算°
d的结果是(）
J1
A.e
B.1-e-2
C.1
D.e-1
6
A.1
B.-1
C.0
D.2
7
已知函数a)=「nzde,则ff(经)】=(）·
A.1
B.1-co81
C.0
D.co81-1
8
若函数f( )，9()满足
f(x)g(x)de=0,则称f(x),g(e)为区间可-1,1]上的一组正交函数.
给出三组函数：
第2页（共4页)
1
1
①f()=sin22,9(e)=co82;
②f(x)=+1,g()=x-1
③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数为(）·
A.0
B.1
C.2
D.3
9
f"
(+in花)d=—
10
已知a为-次函数，且f)=+2相业，则)=—
11
计算定积分：
(1)(2+)=
J1
2
(2)
(2x-e)da=
(3)(x2+8inc)de=
J-1
(4)12-4=
12
(+)da=
1
13
(x2+mx)dc=0,则实数m的值为一
14
15
计算积分
16
求解下列定积分：
（1)(e”+e")
Jo
第3页（共4页）微积分基本定理（知识讲解）
课程要求：
1.掌握微积分基本定理的数学表达式（不要求证明）；
2.熟练应用微积分基本定理解决问题：
3.透过实例感受微积分基本定理的强大·
一般地，如果f(x)是区间[a,]上的连续函数，并且F(x)=f(),那么
日地=P周-PO
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式
为了方便，我们常常把F()-F(a)记成F(e),即
厂fe)da=F(狼=F间-Fa).
微积分基本定理表明，计算定积分
f()dx的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F(c).
通常，我们可以结合导数的四则运算法则并逆用基本初等函数的求导公式找出F(x)·
【补充说明】
若被积函数为基本初等函数，则直接利用微积分基本定理即可；若被积函数较复杂，则需要先将
被积函数拆解成若干个基本初等函数的线性组合，然后利用定积分的性质将其等价成若干个基本
初等函数的定积分的线性组合，如：
f31
da
计算
(2a+)d=
答案
e
解析
(2m+)da=(2+h)丘=e2+lne-1-ln1=e2,故答案为e2.
【拓展】
第1页（共7页）
分段函数在指定区间上的定积分可以利用定积分的【性质3】将其分解为若干个定积分和的形
式
分段的标准是使每一个积分区间上的被积函数解析式确定，这样才可以找到合适的原函数.如对
于恤，因为-
8,x≥0
-,<0
故
恤-恤+-+以=--引-
2
计算定积分
答案
2-3
3
答案
3
解析
e-4地=a-+e-血-e-+[居--器
求定积分：
y-e项-地
(1)
(2)
(3)
cos 2z
Jo
-d
cose十sin
答案
(1)
(2)e4+e2-2.
(3)0.
第2页（共7页）
解析
0-e-g-地=-e--,
设=V1-(e-12,则(e-1)2+=1y≥0)，
广V1-(仁-在表标以1为半径的园的四分之-面积，
叉易知血，因此人W-e-可-地=安
4
(2)
e=e+c=(el92+e=(-1++-0=
+e2-2
(3)
c02
dx=
cos x+sinz
(cos z-sin x)da
co8E十8inE
Jo
=(sin花+co8)
一、
微积分基本定理（易）（习题集）
5
计算厂'上d的结果是(）。
A.e
B.1-e2
C.1
D.e-1
答案
C
解析
fe 1
dx=hx恨=lne-hl=1.
故选C.
6
da=（）
J-1+co8
A.1
B.-1
C.0
D.2
答案
Q
解析
1+c08x
d=0
4学上关-但
第3页（共7页）

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