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定积分的概念（知识讲解）
课程要求：
1.了解定积分的形成和概念（视个人能力而定）；
2.理解定积分的几何意义，并能利用其求值：
3.掌握定积分的性质，方便后期的运算
一、
定积分的概念
如图：
=f()
设函数y=f(e)定义在区间[a,上.用分点a=x<1<2<…为n个小区间，其长度依次为△：=花+1-然=012…n一1·
记λ为这些小区间长度的最大值，当入趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内
跟一6，作u-2Aa
当入→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I的极限叫做函数f()在区间[4，上的定积分，记
作1e地，e恤=2aa
其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b加叫积分上限.(c)d叫做被积式.此时称函数f(x)在区
间a,上可积
【补充说明】
定积分是一个数值（确切的说是一个极限值），它的值取决于被积函数解析式和积分上下限，根
表达字母无关，即厂f似女=厂f刊业=广fo侧山，这一点与函数解折式的特点类似，
第1页（共5页）
二、
定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,上函数()连续且恒有f(x)≥0，那么定积分
f(x)dx表示由直线
x=a,x=b,y=0和曲线f(x)所围成的封闭曲边梯形（如下图中的阴影部分）的面积.这就是
定积分的几何意义.
y=f(x)
三、
定积分的性质
结合定积分的定义和几何意义，不难得出定积分的下列性质，方便我们后期的运算：
【性质】心
f(x)dac=kf(x)de（k是常数)；
【性质2】[伍回)士6e=方回士
【性质3】f)=fa)e+f)(a【拓展】请尝试利用定积分的定义（极限表达式）解释【性质1】，利用定积分的几何意义解释
【性质2】和【性质3】
【补充说明】
(1)整合并强化1和2的结论，可以得到这样的结论
[它回间血宫五国恤，
其中.∈R(k=1,2,·n).语言描述即为，若干个函数的线性组合形成的函数的定积分等于每个
子函数的定积分的相应线性组合，
(2)强化3的结论，可以将一个积分区间做任意的分割，从而将一个定积分拆解成若干个定积
分，这一技巧在处理分段函数定积分时很重要
(3)综合利用定积分的几何意义和定积分的性质可以得到下面一些有用的结论：
第2页（共5页）
①奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0.特例：若f()为奇函数，则f()=0
②偶函数再关于原点对称的区间上的定积分为单侧区间上定积分的二倍·
特例：若f(倒是偶函数，则f(e)a=2f(e)。
③若f(回)≥g回)≥0，则f(回≥9回
根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)
e-2:
1
(2)
3
(3)
V9-xda i
(4)
h(Vi-2-:)da
答案
(1)0
(2)1
9
(3)
(4)T-2
解析
(1)所求定积分表示直线心=1，龙=3，y=0与y=x一2的图像所围成的封闭图形的面
积.
(2)所求定积分表示直线=1，x=3,y=0与y=x一2的图像所围成的封闭图形的面
积
(3)被积函数对应的曲线是圆心在坐标原点，半径为3的半圆周，它与直线=一3，x=3
,y=0所围成的封闭图形卿为半圆，故面积为2。
(4)
人(e列也=人V4-e-分在表标圆心为g0,半径为的图的面积：
cdx表示底和高都为2的直角三角形的面积，分别计算两个定积分值然后作差即
可
【拓展】受上题的启发，你能证明下面这个不等式么？并给出取等的条件·
。fad≤ad
第3页（共5页）定积分的概念（知识讲解）
课程要求：
1.了解定积分的形成和概念（视个人能力而定）；
2.理解定积分的几何意义，并能利用其求值：
3.掌握定积分的性质，方便后期的运算
一、
定积分的概念
如图：
=f()
设函数y=f(e)定义在区间[a,上.用分点a=x<1<2<…为n个小区间，其长度依次为△：=花+1-然=012…n一1·
记λ为这些小区间长度的最大值，当入趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内
跟一6，作u-2Aa
当入→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I的极限叫做函数f()在区间[4，上的定积分，记
作1e地，e恤=2aa
其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b加叫积分上限.(c)d叫做被积式.此时称函数f(x)在区
间a,上可积
【补充说明】
定积分是一个数值（确切的说是一个极限值），它的值取决于被积函数解析式和积分上下限，根
表达字母无关，即厂f似女=厂f刊业=广fo侧山，这一点与函数解折式的特点类似，
第1页（共4页）
二、
定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,上函数()连续且恒有f(x)≥0，那么定积分
f(x)dx表示由直线
x=a,x=b,y=0和曲线f(x)所围成的封闭曲边梯形（如下图中的阴影部分）的面积.这就是
定积分的几何意义.
y=f(x)
三、
定积分的性质
结合定积分的定义和几何意义，不难得出定积分的下列性质，方便我们后期的运算：
【性质】心
f(x)dac=kf(x)de（k是常数)；
【性质2】[伍回)士6e=方回士
【性质3】f)=fa)e+f)(a【拓展】请尝试利用定积分的定义（极限表达式）解释【性质1】，利用定积分的几何意义解释
【性质2】和【性质3】
【补充说明】
(1)整合并强化1和2的结论，可以得到这样的结论
[它回间血宫五国恤，
其中.∈R(k=1,2,·n).语言描述即为，若干个函数的线性组合形成的函数的定积分等于每个
子函数的定积分的相应线性组合，
(2)强化3的结论，可以将一个积分区间做任意的分割，从而将一个定积分拆解成若干个定积
分，这一技巧在处理分段函数定积分时很重要
(3)综合利用定积分的几何意义和定积分的性质可以得到下面一些有用的结论：
第2页（共4页）
①奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0.特例：若f()为奇函数，则f(o)=0
②偶函数再关于原点对称的区间上的定积分为单侧区间上定积分的二倍.
特例：若fa是偶函数，则f(e)=2。f()
③若f(回)≥g回)≥0，则f(回≥9回
根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)
e-2:
1
(2)
(3)
V9-xda i
(4)
(v--)a
【拓展】受上题的启发，你能证明下面这个不等式么？并给出取等的条件.
6
图中曲线轨迹为f(),阴影部分的面积总和可用定积分表示为()·
a Ob
d
B
Dew-e+ie
3
若=2d,=z,c=1s,则a,b,的大小关系是（)
A.cB.bC.cD.a四、定积分的概念（易)（习题集）
第3页（共4页）

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