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函数的最值与导数（知识讲解）
课程要求：
利用导数求解给定区间上可导函数的最值·
最值与极值的辨析
在学习必修一《函数的单调性》一节内容时，我们介绍过最值的概念，这里不加重复了
对比于上节学习的极值，我们可以体会一下二者的区别：
①函数的最值是相对于定义域而言的，是一个从整体角度出发给出的概念，而极值只是极值比较
极值点附近函数值得出的概念，是一个局部概念；打一个比方来说，极值是班级第一，最值是年
级第一，班级第一有可能是年级第一，也有可能不是
②函数在闭区间上连续是它存在最值的充分不必要条件，请你借助于实例来体会这条结论，
【拓展一】
定义域为开区间的连续函数是否可能有最值，若有，请举例，若没有，请说明理由·
实例：间创=年
研究上我们发现，函数回=
,的最大值和最小值分别就是极大值和极小值·
由此我们得到这样的结论：开区间上连续函数若有最值，则最值一定在某些极值点处取得
【拓展二】
若把上面结论中的“连续"两个字去掉，结论还正确么？若不正确，请举出反例.
反别克香致，间-{8。
有了上面的分析，我们不难得到以下的结论：对于闭区间上连续的函数，最值其实是以极值和区
间端点值形成的集合中的数量最大（小）的元素.借助于这条结论，就不难求解函数的最值了·
二、
函数最值的求法
若函数f(x)在[a,上连续，在(a,)上可导，求其最值的步骤如下：
1.求出函数f()在(a,)上的极值（具体步骤参看上节内容）：
2.将所求的的若干极值与f(α)和f()比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值，
第1页（共6页）
【补充说明】
(1)保证闭区间连续是最值存在的充分非必要条件，保证开区间可导是为了确保存在极值时能
通过导数求出极值，若没有极值也无妨，最理想的一种情况是函数在给定区间上严格单调，此时
无极值，最值只可能在端点处取得，即f(x)max=max{f(a),f(b)},f(x)n=mim{f(a),f(⑥)】
(2)最值来自于极值和端点函数值f(α)，f(),求解f(a)和f()是不费任何力气的，因此关键是
确定极值上，而求解极值是需要小心的，若函数可导，则极值一定在极值点处取得，若函数不保
证处处可导（干万不要忘了导数并不是确定极值的唯一工具，因为极值还可能在不可导点处取
得，比如函数f()=(2-1),又比如函数f()=),不过这种情况是非常少见的，在高中
阶段导致函数局部不可导的情况主要由由分数指数幂函数和绝对值函数这两类产生
1
函数=2x2-}在区间0,1上的最大值是（)
A.32
3
C.12
D.9
2
函数e=年-2，的最大值是
3
某产品的销售收入斯（万元)是产量（万台）的函数，幼=17x2,生产总成本（万元)也是x
的函数，2=2x3-2(x>0),为使利润最大，应生产(）·
A.9万台
B.8万台
C.6万台
D.3万台
4
已知f(x)=1og3
22+ax+b
,x∈(0，+o∞)，是否存在实数a、使f(c)同时满足下列两个条件：
(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，+o∞)上是增函数；（2)f(x)的最小值是1.
若存在，求出4，，若不存在，说明理由·
5
已知函数f()=ax3+be+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,的值：
(2)若f(x)有极大值28，求f()在[-3,3上的最小值.
三、函数的最值与导数（易）（习题集）
第2页（共6页）函数的最值与导数（知识讲解）
课程要求：
利用导数求解给定区间上可导函数的最值·
最值与极值的辨析
在学习必修一《函数的单调性》一节内容时，我们介绍过最值的概念，这里不加重复了
对比于上节学习的极值，我们可以体会一下二者的区别：
①函数的最值是相对于定义域而言的，是一个从整体角度出发给出的概念，而极值只是极值比较
极值点附近函数值得出的概念，是一个局部概念；打一个比方来说，极值是班级第一，最值是年
级第一，班级第一有可能是年级第一，也有可能不是
②函数在闭区间上连续是它存在最值的充分不必要条件，请你借助于实例来体会这条结论，
【拓展一】
定义域为开区间的连续函数是否可能有最值，若有，请举例，若没有，请说明理由·
实例：间创=年
研究上我们发现，函数回=
,的最大值和最小值分别就是极大值和极小值·
由此我们得到这样的结论：开区间上连续函数若有最值，则最值一定在某些极值点处取得
【拓展二】
若把上面结论中的“连续"两个字去掉，结论还正确么？若不正确，请举出反例.
反别：我克香致，间-{8。
有了上面的分析，我们不难得到以下的结论：对于闭区间上连续的函数，最值其实是以极值和区
间端点值形成的集合中的数量最大（小）的元素.借助于这条结论，就不难求解函数的最值了·
二、
函数最值的求法
若函数f(x)在[a,上连续，在(a,)上可导，求其最值的步骤如下：
1.求出函数f()在(a,)上的极值（具体步骤参看上节内容）：
2.将所求的的若干极值与f(α)和f()比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值，
第1页（共23页）
【补充说明】
(1)保证闭区间连续是最值存在的充分非必要条件，保证开区间可导是为了确保存在极值时能
通过导数求出极值，若没有极值也无妨，最理想的一种情况是函数在给定区间上严格单调，此时
无极值，最值只可能在端点处取得，即fx)max=max{f(a),f(⑥)}，f(x)mm=mi血{f(a),f(⑥)}
(2)最值来自于极值和端点函数值f(α)，f(),求解f(a)和f()是不费任何力气的，因此关键是
确定极值上，而求解极值是需要小心的，若函数可导，则极值一定在极值点处取得，若函数不保
证处处可导（干万不要忘了导数并不是确定极值的唯一工具，因为极值还可能在不可导点处取
得，比如函数f()=(2-1),又比如函数f()=),不过这种情况是非常少见的，在高中
阶段导致函数局部不可导的情况主要由由分数指数幂函数和绝对值函数这两类产生
函数=2x2-}在区间0,1上的最大值是（).
A
3
B.
C.12
D.9
答案
A
解析
f()=4红-x2,令f(x)>0,解得0令(x)<0,解得<0或>4，
所以f(x)在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
e=倒=号
故选A·
2
4x
函数f倒=+1，∈【-2,2的最大值是
答案
%
解析
令fa)=4-42
(x2+1)2
=0,得x=±1，当=1时，f1)=2,龙∈【-2,2)，当x=-1时，
f-1)=-2,
2-2,习.又-2)=号，故在-22到止的最大值为2
第2页（共23页）

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