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定积分的应用（知识讲解）
课程要求：
应用定积分求平面封闭几何图形面积.
下面我们透过一个实例来具体演示利用定积分计算平面封闭图形面积的步骤·
【例题】计算由直线y=x-4,曲线y=√2以及x轴所围成图形的面积S.
【分析】
首先画出草图（见下图），并设法把所求图形的面积转化为曲边梯形的面积（或若干个曲边梯形
的面积之和)，本题中的图形需要分割成两部分S和S2,此时S1和S为曲边梯形.另外还需要研
究直线与曲线的交点，利用联立解方程组的方法确定交点横（纵）坐标，从而确定积分上下限，
然后对各个曲边梯形利用微积分基本定理展开计算，
【解析】
作出直线y=花一4，曲线y=√2的草图，所求面积为下图中阴影部分的面积
(8,4)
y=/2x
y=x-4
(4,0)
解方程组{二4，求得直线划=。-4与曲纺划=V2的交点坐标为侣，)。
y=V20
直线y=龙-4与轴交点坐标为(4,0)
因此，所求封闭图形的面积为
8=+岛=v版+[以v2at-e-9a-9.6+y,6--r
40
3
第1页（共6页）
进一步观察图形，我们还可以这样看待封闭图形：
A(8,4)
y=/2x
B(4,0)
C(8,0)x
从而优化解决办法，如下：
9
V2d-SABO
2281
0-2×4×4=
40
32
【点评】上面的两种方法，方法一采用的思想是“割”，方法二采用的思想是“补”，这在求解图形面
积时两种最常用的简化手段，除此之外，你还能想到其他的求法么？（提示，利用反函数的结论
以y为积分变量)
1
曲线划=与直线：=1，=心及：轴所围成的图形的面积是(）。
A.e2
B.e2-1
C.e
D.2
2
由曲线y=√，直线划=龙-2及轴所围成的图形的面积为(）·
A号
B.4
C.
D.6
3
抛物线y=αx2+x在第一象限内与直线c+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为
S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax
4
求曲线y=i血x以及直线x=-T,
2，龙
4,y=0所围成的图形的面积S.
5
第2页（共6页）
已知函数y=f()的图像是折线段ABC,若中A(O,0),B
C(1,0).函数
y=f()(0≤x≤1)的图像与轴围成的图形的面积为
一、
定积分的应用（中）（习题集）
6
如图，已知曲边梯形ABCD的曲边DC所在的曲线方程为y=上(e>0),是自然对数的底，则曲
边梯形的面积是()·
y
y (x>0)
A(1.0)
B(e.0)
A.1
B.e
c
D.
已知二次函数y=f()的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（)·
4
A.
B.6
8
1
线过抛物线Cy=4的焦点且与抽垂直，则与C所围成的图形的面积等于（）·
A
B.2
8
D.16v2
3
9
在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好落在正方形与曲线测=√围成的区域内（阴
影部分)的概率为()·
第3页（共6页）定积分的应用（知识讲解）
课程要求：
应用定积分求平面封闭几何图形面积.
下面我们透过一个实例来具体演示利用定积分计算平面封闭图形面积的步骤·
【例题】计算由直线y=x-4,曲线y=√2以及x轴所围成图形的面积S.
【分析】
首先画出草图（见下图），并设法把所求图形的面积转化为曲边梯形的面积（或若干个曲边梯形
的面积之和)，本题中的图形需要分割成两部分S和S2,此时S1和S为曲边梯形.另外还需要研
究直线与曲线的交点，利用联立解方程组的方法确定交点横（纵）坐标，从而确定积分上下限，
然后对各个曲边梯形利用微积分基本定理展开计算，
【解析】
作出直线y=花一4，曲线y=√2的草图，所求面积为下图中阴影部分的面积
(8,4)
y=/2x
y=x-4
(4,0)
解方程组{二4，求得直线划=。-4与曲纺划=V2的交点坐标为侣，)。
y=V20
直线y=龙-4与轴交点坐标为(4,0)
因此，所求封闭图形的面积为
8=+岛=v版+[以v2at-e-9a-9.6+y,6--r
40
3
第1页（共14页）
进一步观察图形，我们还可以这样看待封闭图形：
A(8,4)
y=/2x
B(4,0)
C(8,0)x
从而优化解决办法，如下：
s-Tv
dz-SABO
2281
0-2×4×4=
40
32
3
【点评】上面的两种方法，方法一采用的思想是“割”，方法二采用的思想是“补”，这在求解图形面
积时两种最常用的简化手段，除此之外，你还能想到其他的求法么？（提示，利用反函数的结论
以y为积分变量)
1
曲线划=与直线：=1，=心及：轴所围成的图形的面积是(）。
A.e2
B.e2-1
C.e
D.2
答案
D
解析
由题意，由曲线划=上与直线=1,2=0及轴
所围成的图形的面积是3=
==2.
故答案选D
2
由曲线y=√E,直线划=龙一2及轴所围成的图形的面积为(）·
A号
B.4
D.6
答案
第2页（共14页）
解析
作出曲线y=√元，直线则=一2，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，
y=x
4
y=x-2
由日-2·得其交点坐标为4习
因此y=√E与y=x一2及轴所围成的图形的面积为
8=-+2地=（得-+）-9
故选0.
3
抛物线y=ax2+b在第一象限内与直线+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为
8.求使S达到最大值的a、值，并求Smx·
答案
9
a=-1,b=3,Smax
2
解析
依题设可知抛物线开口向下，它与x轴的交点的横坐标分别为1=0，x2=一
>0
所以=厂(
2+-(+川-o
又直线心+y=4与抛物线划=αx2+be相切，即它们有唯一的公共点，
花十彩=4
由方程组
y=a2+,得a2+6+1z-4=0,其判别式的值必须为0，即
(6+1)2+16a=0.
于是a=0+,代入(~)式得
12862(3-6)
S6)=
12863
3b+16>0叭，=
3(6+1)5
令S(6)=0,在b>0时得唯一驻点b=3,且当00；当b>3时，8(6)<0
故在b=3时，S(6)取得极大值，也是最大值，
9
即a=-1,b=3时，S取得最大值，且Smr=
2
第3页（共14页）

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