资源简介

导数的几何意义（知识讲解）
课程要求：
1.通过研究函数的图像从动态的角度去理解导数的几何意义；
2.通过图像体会原函数与导函数之间的关系
3.能够求解一些特定曲线在指定位置的切线方程.
导数的几何意义
观察：如图，当点Pn(xn,f(m)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(o,f(ao)》时，割线PPn
的变化趋势是什么？
y
=r)
r-At)
11
(2)
少k
y A)
-x)
3
D
x
(3)
(4
我们发现，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P
处的切线.值得关注的问题是，割线PP的斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢？
容易知道，割线PR的斜率是匙。=f儿)-f北o】
第1页（共6页）
当点Pn无限趋近于点P时，k无限趋近于切线PT的斜率.因此，函数f(x)在=处的导数就是
切线PT的斜率k,即k=lim
fe+△)-flo）=f(o）
△
继续观察图，可以发现，在点P附近，PP比PB更贴近曲线f(x),PP3比PP更贴近曲线(x)
.过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线().因此，在点P附近，曲线f(x)就可以用过点P的
切线PT近似代替
【补充说明】
(1)曲线的切线不同于圆的切线，圆的切线只与圆有一个公共点，但是曲则不然，如对于正弦
曲线来说，y=士1是它的切线，但是二者有无穷多个切点.
(2)对于函数f(~)来说，若其图像在处切线的倾斜角为？，则此时切线斜率不存在，切线方
程为=0，我们称函数f(x)在此处的导数不存在，或称f(x)在x=o处不可导
从求函数(e)在=0处导数的过程可以看到，当花=0时，(o)是一个确定的数，这样，当
变化时，(x)便是x的一个函数，我们称它为()的导函数（简称导数）·y=(x)的导函数有时
也记作，即f'()==m
f(x+△x)-f(x)
△
如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数()=-4.9t2+6.5t+10的图象，根据图象，请
描述、比较曲线()在o,,2附近的变化情况·
tI t2
二、导数（瞬时变化率）的计算
下面我们根据上面的研究结果，从定义出发推导一下瞬时变化率的计算方法·
第2页（共6页）
2
一正方形铁板在0°C时边长为10cm,加热后铁板会膨胀.当温度为t°C时，边长变为10(1+at)cm
,α为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率
三、导数的几何意义（易）（习题集）
3
设曲线y=a2在点(1，a)处的切线与直线2-y-6=0平行，则a=(）·
1
A.1
1
B.2
D.-1
4
已知曲线)=a2-2在横坐标为1的点P处切线的倾斜角为牙，则a=()·
A吉
B.1
C.2
D.-1
5
曲线划=”2在点，-1处的切线方程为(）
A.y=x-2
B.y=-3x+2
C.y=2x-3
D.y=-2x+1
6
曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()·
A.y=x-1
B.y=-x十1
C.y=2x-2
D.y=-2+2
7
若曲线y=x2+ac+在点(0，b)处的切线方程是x-y+1=0,则(）·
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1
D.a=-1,b=-1
8
曲线y=e严在点A(0,1)处的切线斜率为（)·
A.1
B.2
C.e
0
e
9
曲线划=血x,∈（←牙，）的一条切线m平行于直线一y-3=0,则m的方程为(）
2321
T
A.y=20
B.y=花
C.y=x+1
D.不存在
10
曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()·
第3页（共6页）导数的几何意义（知识讲解）
课程要求：
1.通过研究函数的图像从动态的角度去理解导数的几何意义；
2.通过图像体会原函数与导函数之间的关系
3.能够求解一些特定曲线在指定位置的切线方程.
导数的几何意义
观察：如图，当点Pn(xn,f(m)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(o,f(ao)》时，割线PPn
的变化趋势是什么？
y
=r)
r-At)
11
(2)
少k
y A)
-x)
3
D
x
(3)
(4
我们发现，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P
处的切线.值得关注的问题是，割线PP的斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢？
容易知道，割线PR的斜率是匙。=f儿)-f北o
第1页（共13页)
当点Pn无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率.因此，函数f(x)在=处的导数就是
切线PT的斜率k,即k=im
fo+△)-f2o）=fo）
△c
继续观察图，可以发现，在点P附近，PP比PB更贴近曲线f(),PP比PP更贴近曲线f(x)
.过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线f().因此，在点P附近，曲线()就可以用过点P的
切线PT近似代替
【补充说明】
(1)曲线的切线不同于圆的切线，圆的切线只与圆有一个公共点，但是曲则不然，如对于正弦
曲线来说，y=士1是它的切线，但是二者有无穷多个切点.
(2)对于函数f(~)来说，若其图像在处切线的倾斜角为？，则此时切线斜率不存在，切线方
程为=0，我们称函数f(x)在此处的导数不存在，或称f(ε)在x=o处不可导
从求函数(e)在=0处导数的过程可以看到，当花=0时，'(0)是一个确定的数，这样，当x
变化时，(x)便是x的一个函数，我们称它为()的导函数（简称导数）·y=()的导函数有时
也记作，即f'(x)==im
f(x+△x)-f(x)
△
如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数()=-4.9t2+6.5t+10的图象，根据图象，请
描述、比较曲线()在to,,2附近的变化情况·
Ot3t4 to
答案
答案见解析.
解析
我们用曲线()在，，2处的切线，刻画曲线()在上述三个时刻附近的变化情况·
第2页（共13页）
(1)当t=to时，曲线(t)在to处的切线平行于轴.所以，在t=to附近曲线比较平坦，几
乎没有升降
(2)当t=t1时，曲线()在t1处的切线的斜率h'()<0.所以，在t=t1附近曲线下降，即
函数五(d在t=附近单调递减
(3)当t=2时，曲线()在t2处的切线的斜率h'(t2)<0.所以，在t=t2附近曲线下降，即
函数五（在t=t2附近也单调递减
从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线(t)在t1附近比在2附
近下降得缓慢·
二、导数（瞬时变化率）的计算
下面我们根据上面的研究结果，从定义出发推导一下瞬时变化率的计算方法
一正方形铁板在0°C时边长为10cm.加热后铁板会膨胀.当温度为t°C时，边长变为10(1+ad)cm
,α为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.
答案
200(a+a2t).
解析
设温度的增量为△t,则铁板面积S的增量
△S=102[1+a(t+△t)]2-102(1+at)2
=200(a+a2t)△t+100a2(△t)2
因此
△t
=200(a+a2)+100a2△t,
△S
令At→0，得S因=Ai=[2o0(a+a2)+100a2A=200a+a2)
所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t)·
三、导数的几何意义（易)（习题集）
3
设曲线g=a2在点(1，a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=(）.
A.1
B.2
D.-1
第3页（共13页）

展开更多......

收起↑