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排列（知识讲解）
学习目标：
1.理解并掌握排列和排列数的概念：
2.掌握排列数的计算公式及其变式，能够利用排列数公式进行熟练准确的相关计算：
3.掌握一些有各种限制条件的排列应用题的对应解决方法，能够利用排列的定义和计算解决一
些简单的排列应用题·
排列
1.定义
一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的一个排列·
2.排列数
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出m个元素
的排列数，用符号A表示.
3.排列数公式
At=n(n-1)(m-2)…(m-m+1),m,n∈N*,且m≤n.
【提问】请同学们根据分步乘法计数原理证明上面的排列数公式·
4.全排列
一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.
全排列公式Ag=n.(m-1).(n-2).3.2.1,
5.阶乘
第1页（共7页）
正整数由1到m的连乘积，叫作n的阶乘，用m!表示.所以n个不同元素的全排列公式可以写成
A"=nl.规定：0！=1
a-m,请同学们自行证明.
n
借助于阶乘的定义，可以将排列数公式改写成A”=
【补充说明】
(1)排列的定义实际上包含两层内容：一是“取出元素”，二是“排列顺序”：
(2)只有元素完全相同，而且顺序也完全一致，二者才算是同一种排列：
(3)判断一个问题是否是排列问题的关键就是检验顺序对问题的结果是否有影响，例如，从3、
5、7、10、13中任取两个数相加（相乘），可以得到多少个不同的和（积），由于加法（乘法）
满足交换律，故最终结果与选取两个元素的顺序无关，因此这个问题就不属于排列问题，而从上
述五个数中选取两个数进行相减（相除），就属于排列问题：
(4)一般来说，排列数公式A=n(m-1)(m一2)·(m一m+1)适用于具体计算，而排列数公式
Am=
nl
多用于化简或恒等证明
(n-m)1
完成下列问题
(1)已知正整数n<30,将(30-n).(31一n).·.(44-n)写成排列数的形式：
(2)解方程：A+1=140A
(3)证明：Ag+mAg-1=A织+1·
100
(4)化简：..
答案
(1)An
(2)8=3.
(3)见解析.
(4)101!-1.
解析
(1)表达式实质是15个连续正整数的乘积，逆用排列数公式即可
(2)按照排列数公式展开得：(2x+1).2x.(2x-1).(2-2)=140.(x-1).(-2),化
简解方程即可·
(3)法一：利用排列数公式A”=
n!
直接从左端计算即可：
(n-m)!
第2页（共7页）排列（知识讲解）
学习目标：
1.理解并掌握排列和排列数的概念：
2.掌握排列数的计算公式及其变式，能够利用排列数公式进行熟练准确的相关计算：
3.掌握一些有各种限制条件的排列应用题的对应解决方法，能够利用排列的定义和计算解决一
些简单的排列应用题·
排列
1.定义
一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的一个排列·
2.排列数
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出m个元素
的排列数，用符号A表示.
3.排列数公式
Ag=n(n-1)(n-2)…(m-m+1),m,n∈N*,且m≤n.
【提问】请同学们根据分步乘法计数原理证明上面的排列数公式·
4.全排列
一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.
全排列公式Ag=n.(m-1).(n-2).3.2.1,
5.阶乘
第1页（共5页）
正整数由1到的连乘积，叫作n的阶乘，用！表示.所以n个不同元素的全排列公式可以写成
A"=nl.规定：0！=1
n
借助于阶乘的定义，可以将排列数公式改写成A”=
a-m,请同学们自行证明.
【补充说明】
(1)排列的定义实际上包含两层内容：一是“取出元素”，二是“排列顺序”；
(2)只有元素完全相同，而且顺序也完全一致，二者才算是同一种排列：
(3)判断一个问题是否是排列问题的关键就是检验顺序对问题的结果是否有影响，例如，从3、
5、7、10、13中任取两个数相加（相乘），可以得到多少个不同的和（积），由于加法（乘法）
满足交换律，故最终结果与选取两个元素的顺序无关，因此这个问题就不属于排列问题，而从上
述五个数中选取两个数进行相减（相除），就属于排列问题：
(4)一般来说，排列数公式A=n(m-1)(m一2)·(m一m+1)适用于具体计算，而排列数公式
Am=
nl
多用于化简或恒等证明
(n-m)1
完成下列问题
(1)已知正整数n<30,将(30-n).(31一n).·.(44-n)写成排列数的形式：
(2)解方程：A+1=140A
(3)证明：A0+mAg-1=A0+1·
100
(4)化简：∑(，)
二、
具体排列问题
1.元素（位置）分析法
含有特殊元素或特殊位置，通常优先安排特殊元素或特殊位置·
2
上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节课，则不同
排课方案的种数是(）·
A.24
B.22
C.20
D.12
第2页（共5页）

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