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离散型随机变量的数学期望（知识讲解）
学习目标：
1.透过实例理解离散型随机变量的数学期望（均值）的概念，并能正确地通过分布列求出离散
型随机变量的数学期望；
2.掌握常见分布模型的均值计算公式：
3.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题：
由超几何分布和二项分布等离散型随机变量的分布，我们知道离散型随机变量的分布列能够完全
描述随机变量取值的概率规律，但是，在许多实际问题中，还需要了解离散型随机变量的某种特
征，例如离散型随机变量的平均取值大小和取值的集中程度.我们来把这种反应概率分布的某种
特征的数值，叫做离散型随机变量的数字特征.下面我们来研究两个最基本的离散型随机变量的
数字特征
离散型随机变量的数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是1,2，…，n,这些值对应的概率是p1
,p2,…,pn,则E()=1p1十2p2十…十npm,叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期
望（简称期望）
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，
【补充说明】
(1)由计算公式可知离散型随机变量的期望与它本身的单位相同；
(2)离散性随机变量的期望只是反映出了随机变量取值的中心位置，并不能完整的展现随机变
量分布列的性质：
(3)随机变量的分布列相同，则数学期望一定相同；反之不然
(4)离散型随机变量的期望具有线性性质：X为随机变量且a,为常数，记Y=αX+b,则
E(Y)=aE(X)+6.
已知离散型随机变量X的分布列为
第1页（共4页）
X
1
2
3
3
3
1
P
5
10
10
则X的数学期望EX=（）·
3
A.
B.2
C.
2
2
D.3
马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：
X
2
3
P(传=)
2
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？"处字迹模糊，但能断定这两
个“？"处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案=
二
常用分布列模型的期望
1.两点分步
若随机变量X服从参数为的两点分布，则E(X)=p(请读者自行计算)，
二项分布
2
若X心B(n,p),则E(X)=np·
3.超几何分布
若离散型随机变量x服从参数为N,M,n的超几何分布，则E()=n4
【补充说明】
二项分布与超几何分布的期望公式证明难度较大，主体是利用公式kC骆=C阶-{，感兴趣的同学
可以挑战一下.
3
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，
(1)求x的期望；
第2页（共4页）离散型随机变量的数学期望（知识讲解）
学习目标：
1.透过实例理解离散型随机变量的数学期望（均值）的概念，并能正确地通过分布列求出离散
型随机变量的数学期望；
2.掌握常见分布模型的均值计算公式：
3.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题：
由超几何分布和二项分布等离散型随机变量的分布，我们知道离散型随机变量的分布列能够完全
描述随机变量取值的概率规律，但是，在许多实际问题中，还需要了解离散型随机变量的某种特
征，例如离散型随机变量的平均取值大小和取值的集中程度.我们来把这种反应概率分布的某种
特征的数值，叫做离散型随机变量的数字特征.下面我们来研究两个最基本的离散型随机变量的
数字特征
离散型随机变量的数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是1,2，…，n,这些值对应的概率是p1
,p2,…,pn,则E()=1p1十2p2十…十npm,叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期
望（简称期望）
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，
【补充说明】
(1)由计算公式可知离散型随机变量的期望与它本身的单位相同；
(2)离散性随机变量的期望只是反映出了随机变量取值的中心位置，并不能完整的展现随机变
量分布列的性质：
(3)随机变量的分布列相同，则数学期望一定相同；反之不然
(4)离散型随机变量的期望具有线性性质：X为随机变量且a,为常数，记Y=αX+b,则
E(Y)=aE(X)+6.
已知离散型随机变量X的分布列为
第1页（共6页）
X
1
2
3
3
P
1
10
10
则X的数学期望EX=（)·
3
A.2
B.2
D.3
答案
解析
B=1×+2×品+8×品-品-
3
3
2
2
马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：
X
3
P(传=)
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两
个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案飞=
答案
2
解析
设P(=1)=P=3)=4，
P(E=2)=6,
则2a+b=1,
E5=a+2b+3a
=2(2a+b)
=2.
故答案为：2
二、常用分布列模型的期望
1.两点分步
第2页（共6页）
若随机变量X服从参数为的两点分布，则E(X)=p(请读者自行计算)·
2
.二项分布
若X心B(np),则E(X)=np·
3.超几何分布
若离散型随机变量x服从参数为N,M,n的超几何分布，则E(X)=n4
N
【补充说明】
二项分布与超几何分布的期望公式证明难度较大，主体是利用公式kC佛=C-{,感兴趣的同学
可以挑战一下.
3
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求x的期望：
(2)求所选3人中女生人数x≤1"的概率.
答案
(1)1
(2)
45
解析
(1)
依其数学模型知，X服从以62,3为参数的超几何分布，则E(x)=4-2X3=1.
6
(2)
PX≤1)=1-P(x=2)=1-
C号C%4
C
6
三、
期望的实际应用
十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保
人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”，为此，红星路小区的环保人士对该小
区年龄在15,75)的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：
第3页（共6页）

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