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组合（知识讲解）
学习目标：
1,理解并掌握组合与组合数的概念，体会组合与排列的区别和联系：
2.掌握组合数公式以及组合数的两个性质（尤其是性质一），能用其进行计算；
3.综合利用排列组合公式以及基本计数原理解决问题.
组合
1.组合
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个
元素的一个组合
2.组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号C”表示
3.组合数公式
C增=n-1n-2)…m-m+1)
mdn-m',m∈N,n∈N+,并目m≤n;特别地，
n!
m!
当m=0时，有C%=1.
【补充说明】
(1)具体来说，组合的要求是n个元素不同，被取出的m个元素也不同，而且取出方式为不放回
取出；
(2)组合取出的m个元素不讲求顺序，无序性是组合的本质.例如，从{a,b,c中取出两个元素
形成两个序列b与a,它们属于两种排列，但却是一种组合.
完成下列问题
第1页（共5页）
(1)计算：C0-C9·A8.
(2)求值：C8”+C贸+n
(3)证明：m0%=n0%}.
二、
组合数的两个性质
1.性质一
C”=Cm(证明留给读者)·
2.性质二
C%1=C%+C0-1（两种证明方法，具体留给读者).
【补充说明】
(1)性质一反映了组合数的对称性：当m>2时，不直接计算C而改为计算C”,这样起到了
简化运算的效果；
(2)要注意性质二的灵活运用：顺用可以将一个组合数拆成两个，在进行化简时此种手段可以
产生抵消的效果；逆用可以将两个组合数合并为一个，求值时可以循环使用此种手段进行并项，
2
若C%+1-C=C,则n等于(）
A.12
B.13
C.14
D.15
3
C%+C%+C9+C%=()·
A.28
B.126
C.84
D.70
三、
构造组合模型
以排列、组合为背景的应用题五花八门，也具有一定的隐蔽性和迷惑性，我们必须认真审题，准
确领会题目所要传达的条件，将其抽象为对应的排列（或组合）模型，然后利用计数原理的内部
知识求解，参看下面两个简例，
第2页（共5页）
A
构造组合模型例题：
(1)马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相
邻的两盏路灯，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有多少
种
(2)设集合A={1,2,3,4,5,6,7,映射f:A→A满足f(1)射的个数.
某城市有7条南北向街道，5条东西向街道（如下图）：
B
(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点走到B点的最短路线的走法有多少种？
四、分组问题、子
分堆问题与分配问题
1.分组问题
分组问题的特点是强调各组之间的顺序，并不能仅仅以组内元素个数来作为分组的区别，具体描
述如下：
(1)非均匀编号分组
【模型】个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，求其分法种数·
【实例】10个人分成2,3,5三组，去参加不同的活动，其安排方法应为C。.C .C%.A修=15120
种.
(2)部分均匀编号分组
【模型】n个不同元素分成m组，其中组元素个数相同且考虑各组之间的顺序，求其分法种数
【实刚110个人分成2,44三组，去参加不同的活动，其安排方法应为。·Cg·C.4线=9450
A
种
第3页（共5页）组合（知识讲解）
学习目标：
1,理解并掌握组合与组合数的概念，体会组合与排列的区别和联系：
2.掌握组合数公式以及组合数的两个性质（尤其是性质一），能用其进行计算；
3.综合利用排列组合公式以及基本计数原理解决问题.
组合
1.组合
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个
元素的一个组合
2.组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号C”表示
3.组合数公式
C增=n-1n-2)…m-m+1)
mdn-m',m∈N,n∈N+,并目m≤n;特别地，
n!
m!
当m=0时，有C%=1.
【补充说明】
(1)具体来说，组合的要求是n个元素不同，被取出的m个元素也不同，而且取出方式为不放回
取出；
(2)组合取出的m个元素不讲求顺序，无序性是组合的本质.例如，从{a,b,c中取出两个元素
形成两个序列b与a,它们属于两种排列，但却是一种组合.
完成下列问题
第1页（共7页）
(1)计算：C0-C9·A8.
(2)求值：C8”+C贸+n
(3)证明：m0%=n0%}.
答案
(1)0
(2)466
(3)见解析.
解析
(1)
原赋-0X9X87-7×6×5=10-310=0
(2)
「38-n≤3m今9.5≤n≤10.5今n=10,以下略
13m≤21+n
(3)mC=m·
n!n.(n-1)!
ml (n-m)1(m-1)!(n-m)!
m-1m-m网=”m-以n-m=ncg.
n…(n-1)1
(m-1)l
二、
组合数的两个性质
1.性质一
C”=C增m(证明留给读者)·
2.性质二
C1=C”+C-1（两种证明方法，具体留给读者)·
【补充说明】
(1)性质一反映了组合数的对称性：当m>2时，不直接计算C而改为计算c公”，这样起到了
简化运算的效果：
(2)要注意性质二的灵活运用：顺用可以将一个组合数拆成两个，在进行化简时此种手段可以
产生抵消的效果；逆用可以将两个组合数合并为一个，求值时可以循环使用此种手段进行并项
2
若c+1-C=C,则n等于(）
A.12
B.13
C.14
D.15
第2页（共7页)
答案
C
解析
C%+1-C%=C%,即C+1=C+C8=Cg+1,
所以n+1=7+8,即n=14.
故选0.
3
C%+C8+C+C袋=().
A.28
B.126
C.84
D.70
答案
解析
C第+C%+C哼+C⑧=C8+C%+C9+C%=C9+C9+C⑧=C8+C8=C8=C8=84.
三、
构造组合模型
以排列、组合为背景的应用题五花八门，也具有一定的隐蔽性和迷惑性，我们必须认真审题，准
确领会题目所要传达的条件，将其抽象为对应的排列（或组合）模型，然后利用计数原理的内部
知识求解，参看下面两个简例.
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构造组合模型例题：
(1)马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相
邻的两盏路灯，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有多少种
(2)设集合A={1,2,3,4,5,6,7},映射f:A→A满足f(1)射的个数·
答案
(1)10
(2)C4.73
解析
(1)在六盏亮的路灯中5个空插入3个，C%=10.
第3页（共7页）

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