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离散型随机变量的方差（知识讲解）
学习目标：
1.理解方差和标准差的概念和求法，掌握常见分布模型的方差公式：
2.能运用方差、标准差来评价两个随机变量的集中程度和稳定性
离散型随机变量的方差
1.方差的定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是心1,2，…，，这些值对应的概率是p1
,p2,…,pn,则D(X)=(1-E()》2·十(2-E()》2·p2十·十(n-E()2·pn叫做这个离
散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波
动的大小（离散程度）·D(X)的算术平方根√D(X)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一
个衡量离散型随机变量波动大小的量·
已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
-1
0
1
2
P
b
1
若E(X)=0,D(X)=1,则a=一，b=
答案
1
公
解析
a+b+c=1-品=是
由题可知
E(X)=-1·a+0.b+1c+2×立=0
D(X)=(-1-0)2.a+(0-0)2.b+(1-0)2·c+(2-0)2.是=1
a=
解得
6=贵
c=i
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2
随机变量的取值为0,1,2，若P(传=0)=号，B(日=1，则D(日=一
答案
5
解析
设P(传=1)=p,
则P(=2)=5-P,
4
从而由8因=0×号+1×P+2×(信-p）)-1,
3
得p=5
故D旧=0-Px×号+0-P×2+2-2×号-号
2.方差的性质
对于a,b∈R,定义随机变量n=a+b(为随机变量)，则D()=a2D(),
3.方差的另一种求法
D(X)=E(X)-E2(X).
3
设10≤1<2<3<4≤104,5=105.随机变量1取值1、g、g、4、的概率均为0.2
随机变量，取值1十、十、购十4、4十、西十1的概率也为0.2.若记D1、
2
2
2
2
2
D分别为1、的方差，则(）·
A.DE>DE2
B.DE1=DE2
C.DED.D1与D2的大小关系与1、花2、3、花4的取值有关
答案
解析
由已知可知E51=0.2(花1十4+8+4+6)，52=0
2
/十2+2十路+9十4+4十西+5十
2
2
2
2
2
=0.2(1+花2十龙3+龙4+6)，
E1=2,
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D1=0.2(e1-E51)2+(2-E1)2+…+(6-E1)2]
=0.2(号+号+喝+号+端)-(E1)2
+(色*（色月
=0.2
(2)2.
2
2
2
2+2x号+…+2x号+212+2c2x3+…+216
4
2a号+2z号+…+2x号+2x+2z号+…+2x号
=吃+吃十哈十十哈，
.'D1>D2,
二、常用分布模型的方差
1.两点分布
若随机变量X服从参数为的两点分布，则D(X)=p(1一p)(请读者自行计算)·
2.二项分布
若XNB(m,p),则D(X)=np(1-p)
三、方差的实际应用
期望反应了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量的波动情况.因此，我们在实际问
题的决策时，需要权衡期望与方差孰轻孰重：若平均取值水平比较重要，那么首选决策依据是随
机变量的期望；若稳定情况比较重要，那么首选决策依据是随机变量的方差
在进行优选时一定要对数据进行综合分析，有时候往往需要两者兼顾，当两组随机变量的期望一
致时，那么需要考察方差进行进一步筛选，
在某校开展的“阳光体育”系列活动中，甲、乙两班之间进行了一次200米跑的团体比赛.每个班各
派出5名同学比赛，讲每名同学的200米成绩记录以后（单位：秒，且已知每个成绩都是整数），
第3页（共7页）离散型随机变量的方差（知识讲解）
学习目标：
1.理解方差和标准差的概念和求法，掌握常见分布模型的方差公式：
2.能运用方差、标准差来评价两个随机变量的集中程度和稳定性
离散型随机变量的方差
1.方差的定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是心1,2，…，，这些值对应的概率是p1
,p2,…,pn,则D(X)=(1-E()》2·十(2-E()》2·p2十…十(n-E()2·pn叫做这个离
散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波
动的大小（离散程度）·D(X)的算术平方根√/D(X)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是
个衡量离散型随机变量波动大小的量·
己知离散型随机变量X的分布列如下表：
-1
0
2
P
1
若E(X)=0,D(X)=1,则a=一，b=一
随机变量的取值为0,1,2，若P(传=0)=5，E()=1,则D()=一
2.方差的性质
对于a,b∈R,定义随机变量n=a(+b(为随机变量)，则D()=a2D()·
3.方差的另一种求法
D(X)=E(X2)-E2(X).
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3
设10≤1<2<8,随机变量飞，取值十、购十、购十4、4十5、5十的概率也为0.2.若记D1、
2
2
2
2
2
D2分别为1、2的方差，则()·
A.DE>DE
B.DE=DEa
C.DED.D1与D的大小关系与1、2、g、x4的取值有关
二、
常用分布模型的方差
1.两点分布
若随机变量X服从参数为的两点分布，则D(X)=p(1一p)(请读者自行计算)·
2.二项分布
若X~B(n,p),则D(X)=p(1-p)
三、方差的实际应用
期望反应了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量的波动情况，因此，我们在实际问
题的决策时，需要权衡期望与方差孰轻孰重：若平均取值水平比较重要，那么首选决策依据是随
机变量的期望；若稳定情况比较重要，那么首选决策依据是随机变量的方差
在进行优选时一定要对数据进行综合分析，有时候往往需要两者兼顾，当两组随机变量的期望一
致时，那么需要考察方差进行进一步筛选
4
在某校开展的“阳光体育”系列活动中，甲、乙两班之间进行了一次200米跑的团体比赛.每个班各
派出5名同学比赛，讲每名同学的200米成绩记录以后（单位：秒，且已知每个成绩都是整数)，
总用时少的班级获胜，
成绩记录如下表所示：
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