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正态分布（知识讲解）
学习目标：
1.了解正态曲线和正态分布的概念，了解正态曲线的基本特征以及两个参数和σ对正态曲线的
影响
2.会根据正态曲线的特征求解随机变量在某一范围内的概率.
概率密度函数
1.概率密度曲线
作出样本数据X的频率分布折线图，当样本容量越来越大时，折线图变得越来越光滑，将足够光
滑的折线图近似成的曲线图称为X的概率密度曲线
2.概率密度函数
概率密度曲线所对应的函数解析式称为X的概率密度函数
3.概率密度函数(x)的性质
(1)f()≥0：
十0
(2)f@=1:
(3)P(a二、
正态分布
1.定义
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布·
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量
第1页（共6页）
2.概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为(x)=
1
e-02
一e2,x∈R,其中μ，o是参数，且
√2衍，
g>0,-00<4<十∞
上式中的参数和σ分别为正态变量的数学期望和标准差，期望为k、标准差为σ的正态分布通常记
作N(,o2)
1
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
f)=1e警，则下列命题中不正确的是（）·
10W/2r
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
答案
B
解析
050
180110
.其密度函数为()=
10W2x
·.该市这次考试的数学平均成绩为80分，
该市这次考试的数学标准差为10
从图形上看，它关于直线=80对称，
且50与110也关于直线x=80对称
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.
故选B
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3.正态曲线
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.大致形状如下：
4.正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方且与轴永不相交（轴为正态曲线的水平渐近线）；
(2)曲线关于直线x=星轴对称，且对应的概率密度函数在x=处取极大值1
V2T.o
(3)曲线与轴之间的面积为1·
(4)当σ不变时，曲线随着的变化沿轴作平移；
(5)当不变时，σ影响曲线的形状：σ越小，曲线越瘦高；越大，曲线越矮胖
2
已知N(3,a2),若P(≤2)=0.2，则P传≤4)=(）·
A.0.2
B.0.3
C.0.7
D.0.8
答案
D
解析
随机变量X服从正态分布N(3,a2),
第3页（共6页）正态分布（知识讲解）
学习目标：
1.了解正态曲线和正态分布的概念，了解正态曲线的基本特征以及两个参数和σ对正态曲线的
影响
2.会根据正态曲线的特征求解随机变量在某一范围内的概率.
概率密度函数
1.概率密度曲线
作出样本数据X的频率分布折线图，当样本容量越来越大时，折线图变得越来越光滑，将足够光
滑的折线图近似成的曲线图称为X的概率密度曲线
2.概率密度函数
概率密度曲线所对应的函数解析式称为X的概率密度函数
3.概率密度函数(x)的性质
(1)f()≥0：
十0
(2)f@=1:
(3)P(a二、
正态分布
1.定义
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布·
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量
第1页（共4页）
2.概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为)=1
e-02
一e2,x∈R,其中μ，σ是参数，且
√2r,
g>0,-0<4<十∞
上式中的参数和σ分别为正态变量的数学期望和标准差，期望为k、标准差为σ的正态分布通常记
作N(,o2).
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
f)=1。e装，则下列命题中不正确的是（）
10W/2r
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
3.正态曲线
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.大致形状如下：
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4.正态曲线的性质
(1)曲线位于轴上方且与轴永不相交（轴为正态曲线的水平渐近线）：
(2)曲线关于直线x=“星轴对称，且对应的概率密度函数在：=处取极大值1
√2m.g
(3)曲线与轴之间的面积为1·
(4)当。不变时，曲线随着的变化沿轴作平移：
(5)当μ不变时，σ影响曲线的形状：σ越小，曲线越瘦高；σ越大，曲线越矮胖
2
已知N(3,a2),若P≤2)=0.2，则P(E≤4)=（)
A.0.2
B.0.3
C.0.7
D.0.8
3
设两个正态分布N(h1,)(1>0)和N(2,)(a2>0)的密度函数图像如图所示.则有()·
y
N(4,o)
N(2,o)
A.h<2,01<02
B.41<2,01>02C.h>2,01<2D.h>2,1>2
5.标准正态分布
我们把
“=0这种情况下的正态分布叫做标准正态分布·
0=11
【补充说明】
任一正态分布都可以线性转化为标准正态分布，具体转化方法如下：
若N4,2),则二-N0,1).
0
设某一随机变量X~N(0,1),记B=P(-2≤X≤-1)，B=P(0≤X≤1)，则R,P的关系是
().
A.PB.P>P
C.P=P
D.无法确定
三、、3σ原则
第3页（共4页）

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