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回归分析（知识讲解）
学习目标：
1,了解回归分析的基本思想，明确建立回归模型的基本步骤；
2.了解用线性回归模型解决非线性相关问题的处理手段
对于一组具有线性相关关系的数据：(c1,幼)，(c2,),(它，)，…，(nyn),我们知道其回归
直线y=+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
6=
a=y-阮
1
1 n
其中元=片》，=
，（伍，）称为样本点的中心，位于回归直线上，
n-1
n 1
已知两个变量和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且
利用线性回归的方法求得回归直线分别为1和2，已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的
平均数都为8，对变量的观测数据的平均数都是，则下列说法正确的是()·
A.1与2有交点(8，)
B.1与2相交，但交点一定不是(8，t)
C.1与2必定平行
D.1与2必定重合
答案
解析
因为回归直线y=b花+a恒过（无，）点，
又两人对变量的观测数据的平均数都为9，对变量的观测数据的平均数都为t,
所以和2恒过点(&，).
下面我们介绍一个用来衡量两个变量间线性相关关系的指标
2
在不同温度下观测某种植物的生长高度，观测结果如下：
温度x(0)
10
20
25
30
35
高度y(cm)
25
46
54
65
73
第1页（共6页）
由此得到的关于的回归直线的斜率是
答案
1.927
5
解析
由公式得：44=7025，颈=1262.4，
含-测6-
6
受4跳-5网
≈1.927.
相关系数
对于变量X与Y随机抽到的n对数据(1，h),(2,),(8,),·,(xn,n),可以利用相关系数r
来衡量两个变量之间线性相关关系，样本相关系数的计算公式为：
含4-列-列
V公%-球宫-或
具体评判结果如下：
(1)r>0时，表示两个变量正相关：
(2)”<0时，表示两个变量负相关；
(3)~越接近于1，表明两个变量的线性相关程度越强：
(4)r越接近于0，表明两个变量的线性相关程度越弱
【补充说明】
川≤1是绝对成立的，它可以利用不等式的手段去证明（难度不小）·
3
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入然：（单位：干元）与月储蓄（单位：干
10
0u=了8=州了0e=n了08=a了算'g(些
10
1=1
附：线性回归方程y=z+a中，
第2页（共6页）
b=
盈
,a=9-b远，
含对
其中云，为样本平均值.线性回归方程也可写为￠=+金.
(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程y=a十a;
(2)判断变量x与之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄·
答案
(1)y=0.3x-0.4.
(2)正相关
(3)1.7(千元).
解析
(1)
由题意知m=10,z=1片
80
10
=8,
1
20
n
10
=2,
又∑号-n远2=720-10×82=80，
1
∑x4%-n2y=184-10×8×2=24,
2-网
由此得6
24
80
=0.3,
含或减
a=9-bc=2-0.3×8=-0.4
故所求回归方程为y=0.3-0.4,
(2)由于变量的值随x的值增加而增加(b=0.3>0),故与y之间是正相关
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元)·
二、
利用线性相关回归分析处理非线性问题
1.非线性相关关系
研究两个变量的关系是，我们常常根据样本生成点坐标在平面直角坐标系中作出散点图，观察散
点图中样本点的分布·从整体看，如果样本点并没有分布在某一条直线附近，我们就称这两个变
第3页（共6页）回归分析（知识讲解）
学习目标：
1.了解回归分析的基本思想，明确建立回归模型的基本步骤；
2.了解用线性回归模型解决非线性相关问题的处理手段
对于一组具有线性相关关系的数据：(c1,幼)，(c2,),(它，)，…，(nyn),我们知道其回归
直线y=+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
6、
a=y-阮
1
1 n
其中元=片》，=
，（伍，）称为样本点的中心，位于回归直线上·
=1
n 1
已知两个变量和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且
利用线性回归的方法求得回归直线分别为1和2，已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的
平均数都为8，对变量的观测数据的平均数都是，则下列说法正确的是()·
A.1与2有交点(8，)
B.1与2相交，但交点一定不是(8，t)
C.1与2必定平行
D.1与2必定重合
下面我们介绍一个用来衡量两个变量间线性相关关系的指标·
在不同温度下观测某种植物的生长高度，观测结果如下：
温度x(0)
10
20
25
30
35
高度y(cm）
25
46
64
65
73
由此得到的关于x的回归直线的斜率是
一、
相关系数
对于变量X与Y随机抽到的对数据(1，斯)，(2,2)，(s,),…,(nm),可以利用相关系数r
来衡量两个变量之间线性相关关系，样本相关系数的计算公式为：
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含-到-列
V2-或2候一驴
具体评判结果如下：
(1)r>0时，表示两个变量正相关：
(2)"<0时，表示两个变量负相关；
(3)越接近于1，表明两个变量的线性相关程度越强；
(4)越接近于0，表明两个变量的线性相关程度越弱
【补充说明】
川≤1是绝对成立的，它可以利用不等式的手段去证明（难度不小）·
3
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入然（单位：干元）与月储蓄（单位：干
元)的数据资料，算得24=0，》=20,24=134,2=72m
10
10
附：线性回归方程y=c+a中，
金肠-n可
b=
,a=9-b玩，
启转-n
其中云，为样本平均值.线性回归方程也可写为=x十金.
(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程y=c十a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7干元，预测该家庭的月储蓄·
二、
利用线性相关回归分析处理非线性问题
1.非线性相关关系
研究两个变量的关系是，我们常常根据样本生成点坐标在平面直角坐标系中作出散点图，观察散
点图中样本点的分布·从整体看，如果样本点并没有分布在某一条直线附近，我们就称这两个变
量之间不具有线性相关关系，也就是非线性相关关系·
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