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二项式定理（知识讲解）
学习目标：
1.熟记二项式展开式，掌握二项展开式的通项公式，并能利用通项公式求解指定项或指定项的
系数
2.体会二项展开式中二项式系统的规律（增减性及最值），区别二项式系数与系数：
3.利用二项式定理解决求值和证明等综合性问题
二项式定理
一般地，我们可以把(a+)”表示为(a+)”=(a+)(a+)…(a+),n个(a+)相乘，乘得的
每一项，是从每个(a+)里任取一个字母a或b的乘积，所以(a十b)”的展开式中每一项都是a”-r
（”=0,1,2,·,m).对于每一项a”rb,是由r个(a+)中选取b,n-r个(a+)中选取a得到
的，它出现的次数（也就是这一项的系数）相当于从n个(a+b)中取个的组合数，即为C%,由
此我们得到下面的公式：
(a+b)”=C9a+Cha-1b+Ca-b2+..+Cb”(n∈N*).
这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做（α+）的二项展开式，它共有
n+1项，其中各项系数C(r=0,1,2,·,n)叫做二项展开式的二项式系数
【补充说明】
(1)指数为m的二项展开式有n+1项：
(2)分布规律为字母a按降幂排列，从首项开始，α的幂指数由n降至0，相应的字母按升幂排
列，从首项开始，的幂指数由0升至n.并且字母a与的幂指数之和为定值n:
(3)二项展开式是一个不受、b取值影响的恒等式，也就是说，我们可以根据题目的要求和自
已的需要随意的对和b进行赋值，比如说，令&二，则二项展开式变)
(1+x)”=C州+C+Cx2+·+Cx”,在处理以x为变量的多项式问题上，这个等式具有很
重要的作用；
(4)二项展开式的作用是双向的，有的时候将某一个复杂多项式通过合理巧妙的变形使之具有
二项展开式的结构，然后采用从右到左的合并方式会取得意想不到的效果：
第1页（共9页）】
(5)二项式系数C”(r=0,1,2,“,n)是组合数，它与展开式中对应项的系数不一定相等，要
注意区分二项式系数和系数这两个不同的概念
设(1+2x)5=a0+1x十…十a4x4+6x5,则a0=;a0-a1+a2-a8+a4-a6s=
答案
1:1
2:-1
解析
令=0可得：a0=1;令x=-1可得0-1十a2-十a4-s=-1.
2
(e-√2划3的展开式中x项的系数是()·
A.56
B.-56
C.28
D.-28
答案
解析
Cgx8(-V2则)2=56xgy2,
故选择A.
3
设(2a+1)3=agx8+a2x2+a1x+a0,则a十a1十a2十ag=一
答案
27
解析
由二项式定理可得as+2+a1+0=Cg23+Cg22+C份22+C320=8+12+6+1=27.
4
设(V2-)0=0+a1+a22+…+a10x0,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+ag+…+ag)）2的
值为().
A.0
B.-1
C.1
D.(W2-1)0
第2页（共9页）二项式定理（知识讲解）
学习目标：
1.熟记二项式展开式，掌握二项展开式的通项公式，并能利用通项公式求解指定项或指定项的
系数
2.体会二项展开式中二项式系统的规律（增减性及最值），区别二项式系数与系数：
3.利用二项式定理解决求值和证明等综合性问题
二项式定理
一般地，我们可以把(a+)”表示为(a+)”=(a+)(a+)…(a+),n个(a+)相乘，乘得的
每一项，是从每个(a+)里任取一个字母a或b的乘积，所以(a十b)”的展开式中每一项都是a”-r
（”=0,1,2,·,m).对于每一项a”rb,是由r个(a+)中选取b,n-r个(a+)中选取a得到
的，它出现的次数（也就是这一项的系数）相当于从n个(a+b)中取个的组合数，即为C%,由
此我们得到下面的公式：
(a+b)”=C9a+Cha-1b+Ca-b2+..+Cb”(n∈N*).
这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做（α+）的二项展开式，它共有
n+1项，其中各项系数C(r=0,1,2,·,n)叫做二项展开式的二项式系数
【补充说明】
(1)指数为m的二项展开式有n+1项：
(2)分布规律为字母a按降幂排列，从首项开始，α的幂指数由n降至0，相应的字母按升幂排
列，从首项开始，的幂指数由0升至n.并且字母a与的幂指数之和为定值n:
(3)二项展开式是一个不受、b取值影响的恒等式，也就是说，我们可以根据题目的要求和自
已的需要随意的对和b进行赋值，比如说，令&二，则二项展开式变)
(1+x)”=C州+C+Cx2+·+Cx”,在处理以x为变量的多项式问题上，这个等式具有很
重要的作用；
(4)二项展开式的作用是双向的，有的时候将某一个复杂多项式通过合理巧妙的变形使之具有
二项展开式的结构，然后采用从右到左的合并方式会取得意想不到的效果：
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（5)二项式系数C%(r=0,1,2,·,n)是组合数，它与展开式中对应项的系数不一定相等，要
注意区分二项式系数和系数这两个不同的概念
设(1+2x)5=a0十1x十…十a4x+6x5,则a0=;a0-1+a2-a8+a4-as=
2
(x-√2划)3的展开式中x项的系数是()
A.56
B.-56
C.28
D.-28
3
设(2十1)3=aae3十a2e2十a1e十a0,则a0+1十2十ag=
4
设(V2-)0=0十a18+a222+…十a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a8+…+ag)2的
值为().
A.0
B.-1
C.1
D.(V2-1)20
二、
二项展开式的通项
展开式中的C%a”-*矿项叫做儿想展开式的通项，通项是展开式的第r+1项，记作T+1,即：
T+1=Chan-(0≤r≤n,r∈N,n∈N*).
上面的这个公式叫做二项展开式的通项公式.
(1)注意这个通项公式的成立前提，它代表的是(a+)"的二项展开式的第+1项：
(2)(a+b)”的二项展开式的第r+1项与（仍+a)”的二项展开式的第r+1项是有区别的，要注意
字母的前后顺序；
(3)具体来说，二项式系数与二项展开式的系数的区别可以借助于这个例子体现：
(x十3)的二项展开式的第r+1项为C%.xn.3”,相应的系数是C%.3,而二项式系数是C结，这
里面的项的系数是从的角度出发的，
5
若(3x+1)5=a5x5+a4x+…十a1花+a0,则a2的值为()
A.270
B.270x2
C.90
D.90x2
第2页（共5页）

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