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第二节　平面向量基本定理及坐标表示
(1)理解平面向量的基本定理及其意义；(2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；(4)能用坐标表示平面向量共线的条件．　
重点一　平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[逐点清]
1．(多选)(必修第二册26页例1改编)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是(　　)
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
解析：ACD　对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对B，b＝a，所以a，b共线，所以不符合；
对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合，故选A、C、D．
重点二　平面向量的坐标运算
1．向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
[逐点清]
2．(多选) (必修第二册30页练习1题改编)在平面上的点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面结论正确的是(　　)
A．－＝ B．＋＝
C．＝－2 D．＋2＝
解析：BC　点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，选项A中，＝(－2,1)，＝(4,0)，＝(－2，－1)，所以－≠，故错误；选项B中，＝(2,1)，＝(－2,1)，＝(0,2)，所以＋＝成立，故正确；选项C中，＝(－4,0)，＝(0,2)，＝(2,1)，所以＝－2成立，故正确；选项D中，＝(2,1)，＝(0,2)，＝(－2,1)，所以＋2≠，故错误．故选B、C．
3．(必修第二册34页例10改编)已知向量a＝(1,2)，b＝(－1,2)，则|3a－b|＝________．
解析：∵向量a＝(1,2)，b＝(－1,2)，∴3a－b＝3(1,2)－(－1,2)＝(4,4)，∴|3a－b|＝ ＝4 ．
答案：4
重点三　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
[注意]　(1)a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
[逐点清]
4．(必修第二册31页例7改编)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　)
A．－6 B．6
C．9 D．12
解析：B　因为a∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6．
[记结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为．
[提速度]
　已知＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＋＋＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为(　　)
A．(－9，－1) B．
C．(1，－5) D．
解析：B　因为＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＋＋＝0，所以P是△OAB的重心，又A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0,0)，所以P点坐标为．故选B．
平面向量基本定理的应用
　(2022·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝________．
[解析]　由题图可设＝x (0[答案]　
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　
如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b．
(2)由题意知，∥，故设＝x．
因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b．
所以(2－λ)a－b＝x．
因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，
得解得故λ＝．
平面向量的坐标运算
　(2022·辽宁月考)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，
又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　
1．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2．设点B(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，即解得所以向量的坐标是(4,7)．
答案：(4,7)
2．(2022·滕州模拟)如图所示，以{e1，e2}为基底，则a＝________．
解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，则所以即a＝－2e1＋e2．
答案：－2e1＋e2
向量共线的坐标表示
考向1　利用向量共线求参数
　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
[解析]　因为a∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得解得
[答案]　
利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤
(1)根据已知条件求出相关向量的坐标；
(2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；
(3)根据方程或方程组求解得到参数的值．　
考向2　利用向量共线求向量或点的坐标
　(2022·天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[解析]　法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y．又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．
[答案]　(3,3)
两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb．
一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．　
1．(2022·太原联考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________．
解析：由题意知a＝e1＋λe2＝(1,1＋λ)，b＝－(2e1－3e2)＝(－2,1)．由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－．
答案：－
2．(2022·安徽调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
解析：因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(,||)＋\f(,||)))．∴＝λ(0,1)＋λ＝，又||＝3，所以2＋2＝(3)2，解得λ＝5．故向量＝(－3,9)．
答案：(－3,9)
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2
解析：B　由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D，2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B．
2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　)
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
解析：B　如图，可知＝＋＝－＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ ))－＝－．故选B．
3．(2022·本溪模拟)已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p：x＝－1是q的充分不必要条件．故选A．
4．(2022·汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：D　取a＝，b＝作为基底，则＝a＋b．因为BF＝3FE，所以＝＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，故选D．
5．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cos C＝＝，因为06．(多选)(2022·珠海模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　 )
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：ABD　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选A、B、D．
7．(多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　)
A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥b
B．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λa
C．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0 λ＝μ＝0
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底
解析：BCD　A项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；
B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；
C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ＝1，错误；
D项，由平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误．故选B、C、D．
8．(2022·菏泽模拟)已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为__________．
解析：∵向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，∴2a＋b＝(－3，2＋2m)．∵a∥(2a＋b)，∴－2(2＋2m)＝－3m，解得m＝－4．
答案：－4
9．(2022·泰安质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
解析：不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2(m＝2舍去)，故b＝(6，－8)．
答案：(6，－8)
10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan＝________．
解析：由a∥b可得，3sin α＝cos α，得tan α＝，所以tan＝＝＝2．
答案：2
B级——综合应用
11．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,4]
解析：C　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，E(－1,1)，设P(t,1)(0≤t≤1)，则(t,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，所以t＝x－y，且y＝1，故x＋y＝t＋2∈[2,3]．故选C．
12．(2022·福州模拟)若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
13．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．
解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝ ，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心，半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1．
答案：＋1　－1

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