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第三节　平面向量的数量积及应用
(1)理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；(2)了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；(3)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；(4)能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；(5)会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．　
重点一　向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
[逐点清]
1．(必修第二册20页练习1题改编)在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则·的值为(　　)
A．20 B．－20
C．20 D．－20
解析：B　由题意知〈，〉＝120°，故·＝||·||·cos〈，〉＝－5×8×＝－20，故选B．
重点二　平面向量数量积的定义与运算律
1．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2．投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
[注意]　(1)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线；(2)
向量数量积的运算不满足乘法消去律，即a·b＝a·c不能推出b＝c，如图向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c)．
[逐点清]
2．(多选) (必修第二册21页例11改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0　　　　 B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0 a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
解析：CD　对于A选项，0·a＝0，错误；
对于B选项，因为a·b＝b·c，如图，由数量积的几何意义可知|a|cos θ1＝|c|·cos θ2，但a≠c，错误；
对于C选项，a·b＝0 a⊥b，正确；
对于D选项，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，正确．
3．(必修第二册18页例10改编)在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：A　取点O为BC的中点，根据题意作图，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴在上的投影向量为＝，故选A．
重点三　平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
[注意]　(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混；(2)a⊥b a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b．
[逐点清]
4．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
解析：CD　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；
因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；
又(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．故C正确；
又cos〈a，b〉＝＝＝，且〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故D正确．故选C、D．
[记结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
[提速度]
1．(2022·临高模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：B　因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，由结论1可得|2a－b|＝＝＝2，故选B．
2．(2022·佛山质检)已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　由结论2可得选B．
平面向量数量积的基本运算
　(1)(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6)　　　　　 B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
[解析]　(1)·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．
(2)由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，得2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－．
[答案]　(1)A　(2)－
求非零向量a，b的数量积的策略
(1)若两向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算；
(2)根据图形之间的关系，找到两个长度和夹角已知(或可以求出)的不共线向量作为基底，再把相关向量用基底表示出来，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解；
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．　
1．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________．
解析：以网格正方形的一条水平线为x轴，竖直线为y轴建平面直角坐标系，则有a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，∴(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3．
答案：0　3
2．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中．D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB与点E，DF∥AB交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
解析：设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴(2＋)2＝4＋4·＋＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，∴|2＋|＝1，∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋，∴当x＝时，(＋)·的最小值为．
答案：1　
平面向量数量积的应用
考向1　求向量的模
　(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
[解析]　由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3．
[答案]　3
求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝；
(2)利用|a|＝；
(3)借助数量积定义或性质转化为关于所求模的方程求解．　
考向2　求向量的夹角
　(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．
[答案]　D
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]；
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ ；
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．　
考向3　平面向量的垂直问题
　(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．
[解析]　c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－．
[答案]　－
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据已知条件(如共线、夹角等)计算出这两个向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系求解相关参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．　
1(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．
解析：法一：∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝．
法二：如图，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得＝a＋b，∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，∴△OAC为正三角形，∴||＝|a－b|＝2××|a|＝．
答案：
2．已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，a·(a－b)＝8，则cos〈a，b〉＝________．
解析：因为a·(a－b)＝8，所以a2－a·b＝|a|2－|a|·|b|cos〈a，b〉＝8，代入数据可得9－3×2cos 〈a，b〉＝8，解得cos〈a，b〉＝．
答案：
3．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝．因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝．
答案：
平面向量的应用
考向1　平面几何中的向量方法
(多选)(2022·常州一模)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(　　)
A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上
B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心
C．若·>0，则△ABC为锐角三角形
D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
[解析]　对于A，设AB中点为D，BC中点为E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝－2(＋)，∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；
对于B，设AB中点为D，由＋＋＝0得：＋＝－＝，又＋＝2，∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，∴P为△ABC的重心，B正确；
对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；
对于D，∵＝＋，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确．故选A、B、D．
[答案]　ABD
用向量解决平面几何问题的两种方法及步骤
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．　
考向2　向量在物理中的应用举例
(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)
A．|F1|的最小值为|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
[解析]　由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，所以|F1|2＝．当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|，当θ＝π时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立 ，所以θ∈[0，π)，故A、C、D正确．
[答案]　ACD
用向量方法解决物理问题的步骤
　
　(2022·南开模拟)点P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：B　点P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则|－|＝|＋－2|，可得||＝|＋|，即|－|＝|＋|，等式|－|＝|＋|两边平方并化简得·＝0，∴⊥，因此，△ABC是直角三角形．故选B．

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