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第三节　等比数列
(1)理解等比数列的概念和通项公式的意义；(2)掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等比数列与指数函数的关系．　
重点一　等比数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q(n∈N*)．
2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab．
[注意]　只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
[逐点清]
1．(多选) (选择性必修第二册31页练习1题改编)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
A．　　　　　　　 B．log2a
C．{an＋an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2}
解析：AD　等比数列{an}的通项an＝1时，log2a＝0，数列{log2a}不是等比数列；等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列；由等比数列的定义知和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．故选A、D．
2．(2022·滕州月考)若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：B　因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac且ac>0，令y＝ax2＋2bx＋c＝0，则Δ＝4b2－4ac＝4(b2－ac)＝0，所以函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1，故选B．
重点二　等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m．
2．前n项和公式：Sn＝Sn＝
[逐点清]
3．(易错题)各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________．
解析：因为{an}为正项等比数列，所以a3·a7＝a＝4，所以a5＝2，又q≠1，不妨令q＝2，所以an＝a1qn－1＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4．
答案：an＝2n－4(只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5＝2即可)
4．(选择性必修第二册40页习题3题改编)数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．
解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝ ．
答案：
[记结论]
1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a．
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
3．当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
[提速度]
1．已知等比数列{an}中，若an＝2·3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(3n－1)2 B．(9n－1)
C．9n－1 D．(3n－1)
解析：B　由结论2可知，数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝ ＝(9n－1)．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________， 成等比数列．
解析：由结论4可知，T4， ， ， 成等比数列，故填 ， ．
答案： 　
等比数列基本量的运算
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16　　　　　　　　 B．8
C．4 D．2
解析：C　设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4．因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2．又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4．
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解析：B　法一：设等比数列{an}的公比为q，则由
解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B．
法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B．
3．(2022·珠海模拟)在等比数列{an}中，a＝a9且a8＞a9，则使得an－>0的自然数n的最大值为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
解析：C　因为a＝a9，即(a1q6)2＝a1q8，所以a5＝1，又因为a8>a9，所以数列{an}为正项单调递减数列，所以00，所以qn－9>1＝q0，所以n<9．又因为n为整数，故nmax＝8．故选C．
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．　
等比数列的判定与证明
　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，
所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，所以＝2，
又因为a1＝1，a2＝3，则a2－a1＝2，
所以数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝2×2n－1＝2n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1．
等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
　
(2022·苏州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，n∈N*，an＋1＝2an＋1．
(1)求证：{an＋1}是等比数列；
(2)设bn＝2nan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)证明：依题意，n∈N*，an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，且a1＋1＝2≠0，
所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＝2n，an＝2n－1，所以bn＝2nan＝4n－2n，
故数列{bn}的前n项和为－＝－2n＋1＋．
等比数列的性质及应用
考向1　等比数列项的性质应用
　(1)已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．±
(2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24
C．30 D．32
[解析]　(1)由已知得a＋2a＝π，∴a＝，又a3·a5＝a＝，∴tan(a3·a5)＝．
(2)设等比数列{an}的公比为q, 所以＝＝q＝2，所以a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a2)＝25＝32．故选D．
[答案]　(1)A　(2)D
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　
考向2　等比数列前n项和的性质应用
(1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(2022·厦门模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
[解析]　(1)法一(通解)：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，
得q2＝，所以或
所以S6＝＝7．故选A．
法二(优解)：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7．故选A．
(2)由题意，得
解得 所以q＝ ＝ ＝2．
[答案]　(1)A　(2)2
1．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下的性质，设公比为q．
(1)若共有2n项，则＝q；
(2)若共有2n＋1项，＝q．
2．等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当q≠－1时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk．　
1．等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9＝(　　)
A．－3 B．3
C．－4 D．4
解析：B　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得：a3·a9＝a5·a7＝3．故选B．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
解析：由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以＝．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·盐城质检)等比数列{an}的前n项和Sn＝32n－1＋r，则r＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．－
C． D．－
解析：B　当n＝1时，a1＝S1＝3＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝ ·9n－1，所以3＋r＝ ，即r＝－ ，故选B．
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－，a5＝＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝(　　)
A．1 B．9
C．5＋7 D．3＋9
解析：B　因为{an}为各项为正的等比数列，a3＝2－，a5＝＋1，所以a1a5＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(2－＋＋1)2＝9，故选B．
3．(2022·北京质检)明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为(　　)
A．3 B．6
C．96 D．192
解析：C　根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为a1，则有S7＝＝381，解得a1＝3，从塔底数第二层灯的盏数为a6＝a1q5＝3×25＝96，故选C．
4．(2022·潮州模拟)Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝256，a4a6＝1 024，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解析：B　由a3a5＝256，a4a6＝1 024，得又an>0，∴∴∴an＝2n，Sn＝2(2n－1)，∴＝＝2－21－n，故选B．
5．(2022·广东模拟)已知数列{an}为等比数列，函数y＝loga(2x－1)＋2过定点(a1，a2)，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则S10＝(　　)
A．44 B．45
C．46 D．50
解析：B　∵函数y＝loga(2x－1)＋2过定点(1,2)，∴a1＝1，a2＝2，∴等比数列{an}的公比q＝2，an＝2n－1，∴bn＝log2an＝n－1，又数列{bn}的前n项和为Sn，则S10＝＝45，故选B．
6．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C． ＝8
D． ＝9
解析：AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以 ＝q3＝8，解得q＝2，所以 ＝ ＝1＋q3＝9．故选A、D．
7．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有(　　)
A．是公比为的等比数列
B．{a2n}是公比为4的等比数列
C．{2an}是公比为4的等比数列
D．{anan＋1}是公比为2的等比数列
解析：AB　由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N*，an≠0，且公比为q＝＝2．
对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；
对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确；
对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误；
对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．故选A、B．
8．(2022·襄阳模拟)实数10，m，n，t,40成等比数列，则mnt＝________．
解析：因为实数10，m，n，t,40成等比数列，所以mt＝n2＝400，因为n>0，所以n＝20，所以mnt＝8 000．
答案：8 000
9．若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)．令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________．
解析：由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，因为a1＋1＝3，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，所以bn＝log3(an＋1)＝n，因此b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5 050．
答案：5 050
10．(2022·莆田模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)易知q≠1，由题意可得解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝＝．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时Sn＋＝×3n，则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列．
B级——综合应用
11．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列．则b4＝2×3＝，故选B．
12．(2022·北京模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0．1．参考数据：lg 2＝0．30，lg 3＝0．48)(　　)
A．2．9天 B．3．9天
C．4．9天 D．5．9天
解析：C　设蒲的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．则An＝，Bn＝，由题意可得5×＝，解得2n＝30或2n＝1(舍去)．∴n＝log230＝＝＝≈4．9．故选C．
13．(多选)(2022·菏泽质检)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 019B．a2 019a2 021－1<0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
解析：AB　当q<0时，a2 019a2 020＝aq<0，此时a2 019a2 020>1不成立；当q≥1时，a2 019>1，a2 020>1，此时<0不成立；故01,0S2 019，A正确；a2 019a2 021－1＝a－1<0，故B正确；T2 019是数列{Tn}中的最大值，C、D错误．故选A、B．
14．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为________．(写出一个即可)
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵数列{3n－an}也是等比数列，∴(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，化简得q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1．
答案：an＝3n－1(只要公比为3的数列即可)
15．在①S3＝17；②S1＋S2＝4；③S2＝4S1这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题．
已知数列{Sn}满足Sn≥0，且Sn＋1＝3Sn＋2．
(1)证明：数列{Sn＋1}为等比数列；
(2)若________，是否存在等比数列{an}的前n项和为Sn？若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)证明：数列{Sn}中，Sn≥0，且Sn＋1＝3Sn＋2，
所以Sn＋1＋1＝3(Sn＋1)，
所以数列{Sn＋1}是公比为3的等比数列．
(2)选择条件①，不存在．
因为S3＝17，所以S3＋1＝18，
因为{Sn＋1}是公比为3的等比数列，所以(S1＋1)·32＝18，
解得S1＝1，所以Sn＋1＝2×3n－1，Sn＝2×3n－1－1．
所以Sn＋1＝3Sn＋2＝6×3n－1－1，
an＋1＝4×3n－1，所以an＝4·3n－2(n≥2)，
因为a1＝1，不符合上式，
所以数列{an}不是等比数列，所以不存在．
选择条件②，不存在．
因为{Sn＋1}是公比为3的等比数列，所以S2＋1＝3(S1＋1)，
又S1＋S2＝4，得S1＝，所以Sn＋1＝×3n－1，
Sn＝×3n－1－1，所以Sn＋1＝×3n－1－1，
所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1(n≥2)，
因为a1＝，不符合上式，
所以数列{an}不是等比数列，所以不存在．
选择条件③，存在．
因为{Sn＋1}是公比为3的等比数列，所以S2＋1＝3(S1＋1)，
又S2＝4S1，得S1＝2，所以Sn＋1＝3n，
Sn＝3n－1，所以Sn＋1＝3×3n－1，
所以an＋1＝2×3n，所以an＝2×3n－1(n≥2)，
因为a1＝2，符合上式，
所以数列{an}是等比数列，所以存在，此时an＝2×3n－1．
C级——迁移创新
16．我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log212＝1(i＝1,2，…，12)．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为(　　)
频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13
半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八度)
A．F# B．G
C．G# D．A
解析：B　依题意可知an>0(n＝1,2，…，13)．由于a1，a2，…，a13满足log212＝1(i＝1,2，…，12)，则12＝2，∴＝2，所以数列a1，a2，…，a13为等比数列，公比q＝2，D#对应的频率为a4，题目所求半音与D#的频率之比为＝2＝4，所以所求半音对应的频率为a4·4＝a8，即对应的半音为G．故选B．
17．某新兴科技公司第一年年初有资金5 000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资、税务等支出合计1 500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为an万元，第m(m∈N*)年年底企业的剩余资金超过21 000万元，则整数m的最小值为________．(lg 2≈0．301 0，lg 3≈0．477 1)
解析：由题意得，a1＝5 000(1＋50%)－1 500＝7 500－1 500＝6 000，an＋1＝an(1＋50%)－1 500＝an－1 500，即an＋1－3 000＝(an－3 000)，∴＝，∴数列{an－3 000}是以3 000为首项，为公比的等比数列，即an－3 000＝3 000·n－1，∴am＝3 000·m－1＋3 000>21 000，即m－1>6．
法一：易知y＝x单调递增，∵4＝<6，5＝>6，∴m－1≥5，∴m≥6，∴整数m的最小值为6．
法二：m－1>log6＝eq \f(lg 6,lg )＝≈＝≈4．42，∴m≥6，∴整数m的最小值为6．
答案：6

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