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第四节　复 数
(1)通过方程的解，认识复数；(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；(3)掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．　
重点一　复数的有关概念
1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的实部和虚部．当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．
2．复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
[逐点清]
1．(必修第二册80页练习3题改编)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
解析：D　由＝＝－i，从而知a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，从而a＋b＝1．
2．(必修第二册73页习题2题改编)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚线”的必要不充分条件．故选C．
重点二　复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi平面向量．
[逐点清]
3． (必修第二册73页习题6题改编)已知复数z满足(2－i)＝1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：A　由(2－i)＝1－2i得＝＝＝－i，故z＝＋i，所以z在复平面内对应的点为，故z在复平面内对应的点在第一象限．故选A．
重点三　复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R．
2．复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数乘法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律：
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．
[逐点清]
4．已知(1＋2i) ＝4＋3i，则z＝________．
解析：∵(1＋2i) ＝4＋3i，∴ ＝ ＝ ＝ ＝2－i，∴z＝2＋i．
答案：2＋i
[记结论]
1．(1±i)2＝±2i， ＝i， ＝－i．若ω＝－＋i，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋＋2＝0，ω2＝．
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝， |zn|＝|z|n．
[提速度]
1．(2022·潍坊质检)已知z＝，则|z|＝(　　)
A． B．
C．－ D．1
解析：D　由结论3可知|z|＝＝＝1，故选D．
2．i为虚数单位，则2 022＝________．
解析：由结论1可得 ＝i，又i2 022＝i4×505＋2，由结论2可知原式＝－1．
答案：－1
复数的有关概念
　(1)(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A．－1　　　 B．1　　　　C．－3　　　 D．3
(2)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1 C． D．2
[解析]　(1)∵(1＋ai)i＝3＋i，∴1＋ai＝＝1－3i，∴a＝－3．故选C．
(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2．故选D．
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2．故选D．
[答案]　(1)C　(2)D
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．　
1．(2022·徐州模拟)若纯虚数z满足(z＋m)i＝2－i(其中i为虚数单位，m为实数)，则m＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：B　由题意可设z＝bi(b≠0)，则(z＋m)i＝(bi＋m)i＝－b＋mi＝2－i，所以m＝－1，故选B．
2．若复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z的实部为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：A　设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋|z|＝a＋bi＋＝3＋i，所以b＝，a＋＝3，解得b＝，a＝1．故选A．
复数的运算
　(1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
[解析]　(1)z＝＝＝＝－1＋i．
(2)因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i．故选C．
[答案]　(1)B　(2)C
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
1．(2022·济南模拟)＝(　　)
A．＋i B．－－i
C．－1－i D．1＋i
解析：B　＝＝＝－－i，故选B．
2．i是虚数单位，复数z＝－i＋，则为________．
解析：z＝－i＋＝－i＋＝－i＋＝－i，故＝＋i．
答案：＋i
复数的几何意义
　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
[解析]　(1)＝＝＝＋i，故选A．
(2)法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4．因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2．
法二：设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2．
[答案]　(1)A　(2)2
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．求与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．　
1．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1．
2．(多选)已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A．1＋i B．2
C．－1－i D．－1＋i
解析：CD　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∵向量与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，∴当z在第二象限时，x＝||cos 120°＝2×＝－1，y＝||sin 120°＝2×＝，∴z＝－1＋i；当z在第三象限时，x＝||cos(－120°)＝2×＝－1，y＝||sin(－120°)＝2×＝－，∴y＝－1－i．故选C、D．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·海南质检)已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－i
C．5 D．5i
解析：C　z＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，虚部为5．故选C．
2．(2022·辽宁模拟)已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝(　　)
A．1 B．
C．3　　 D．9
解析：C　因为a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，所以a＝－2，b＝，|a＋bi|＝＝＝3．故选C．
3．(2022·襄阳三模)已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：D　由复数z与复平面内的点(2，－1)对应，可知z＝2－i，所以＝＝－i，其对应的点为．故选D．
4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数，等价于即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故选A．
5．设复数z＝n＋n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为(　　)
A．{1,0，－1} B．{0,2，－2}
C．{0,1＋i,1－i} D．{0,2＋2i,2－2i}
解析：B　z＝in＋(－i)n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k(k∈N)时，z＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，z＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，z＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，z＝0．故选B．
6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A．|z|＝
B．z的虚部为2
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
解析：AC　由题意|z|＝＝，虚部为－2，共轭复数是－1＋2i，对应点坐标为(－1，－2)，在第三象限．故选A、C．
7．(多选)(2022·福州期中)设z∈C，则下列说法中正确的是(　　)
A．|z|2＝·z
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0
D．若|z|＝1，则|z－i|≤2
解析：AD　A选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，|z|2＝a2＋b2，·z＝a2＋b2，所以|z|2＝·z，故A正确；
B选项，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1＋z2|＝2，|z1|＋|z2|＝2，不满足|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，故B错误；
C选项，若z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但不满足z1＝z2＝0，故C错误；
D选项，若|z|＝1，不妨令z＝cos θ＋sin θ·i，则|z－i|＝＝≤2，故D正确．故选A、D．
8．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2．
答案：－2
9．设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量对应的复数是________．
解析：∵向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴＝(2，－3)，＝(－3,2)，∴＝－＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i．
答案：5－5i
10．(2022·珠海质检)若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．
解析：因为z＝2＋(z＋1)i，所以z(1－i)＝2＋i，所以z＝＝＝，故|z|＝＝．
答案：
B级——综合应用
11．若i为虚数单位，复数z满足|z＋＋i|≤，则|z－2i|的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．2 D．3
解析：D　|z＋＋i|≤表示以点M(－，－1)为圆心，R＝为半径的圆及其内部，|z－2i|表示上述圆面内的点到N(0,2)的距离，据此作出如图所示的示意图，则|z－2i|max＝MN＋R＝＋＝3．故选D．
12．(2022·武汉质检)设复数z满足|－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9
C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝9
解析：D　因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi，则＝x－yi，所以－2i＝x＋(－y－2)i，所以|－2i|＝＝3，整理得x2＋(y＋2)2＝9．故选D．
13．(多选)(2022·盐城质检)已知复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．z·＝1
B．z＋为实数
C．若θ＝，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限
D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝
解析：ABD　对选项A，z·＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos2θ－(isin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＝1，故A正确；对选项B，因为z＋＝cos θ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ，所以z＋为实数．故B正确；
对选项C，因为θ＝为第二象限角，所以cos <0，sin >0，所以z＝cos ＋isin 在复平面对应的点落在第二象限．故C错误；
对选项D，复数z是纯虚数，则又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D正确．故选A、B、D．
14．(2022·辽宁模拟)若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知， ＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i．
答案：1＋i(答案不唯一)
15．(2022·潍坊模拟)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0，所以z＝－1＋i，复数z在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限．
答案：0　二
[真题展示]
(2021·浙江高考)已知平面向量a，b，c(c≠0)满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，(a－b)·c＝0．记平面向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，d－a在c方向上的投影为z，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
[试题分析]　题目主要考查向量数量积的运算及对投影的概念理解，其次是多变量最值的求法．向量是描述直线、曲线、平面、曲面及高维数学问题的基础，利用向量解决问题时，要把遇到的数量关系设法用几何图形表示出来，把定性的结果变成定量的结果，把定性的几何分析变成定量的几何或代数运算，即
[考题溯源与解法探究]
教科书必修第二册中没有明确给出向量在另外一个向量上投影的概念，但在第18页介绍了投影向量的概念，强化了对投影向量的理解，注意投影向量与向量投影的区别．
【探究一：几何视角——将向量的数和形相结合】
如图，设a＝，b＝，c＝，d＝，则OA＝1，OB＝2，OC⊥AB，垂足为点H．过D分别作OA，OB，OC，AB的垂线，垂足分别为E，F，G，M，如图所示．于是DM＝GH，所以x2＋y2＋z2＝OE2＋OF2＋DM2＝OD2＋DM2≥≥＝．当且仅当OD＝DM＝时，等号成立．
[点评]　从几何的视角把问题转化为求平面OAB上的点到三角形三边距离平方和的最小值，再根据重要不等式得出最小值．由此题可以得出一个结论：到三角形三边的距离的平方和最小的点为三角形重心的等角共轭点，当三角形为直角三角形时，此点为斜边高线的中点．
【探究二：三角函数视角——用三角函数求解】
设||2＝x2＋y2＝r2(r>0)，∠DOC＝θ，则OG＝rcos θ，OH＝，所以GH＝＝z．所以x2＋y2＋z2＝r2＋2＝(1＋cos2θ)r2－cos θ·r＋≥＝≥．当cos2θ＝1时，等号成立．
[点评]　先通过设角将问题转化为三角函数形式，再变更主元，把r看成变量，进而求二次函数的最值，最后验证等号成立的条件．
【探究三：消元视角——减少未知量的个数转化求解】
令a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(m，n)，由(a－b)·c＝0，所以m－2n＝0，所以c＝(2n，n)，因为d在a，b方向上的投影分别为x，y，所以可设d＝(x，y)，则d－a在c方向上的投影z＝＝．由f(x，y，z)＝x2＋y2＋z2，得f(x，y)＝x2＋y2＋＝(9x2＋6y2＋4xy－8x－4y＋4)，故f(x，y)＝2＋(5x－2)2＋≥．当且仅当即时等号成立．
[点评]　消元的先后顺序对此题的求解是没有影响的．虽然这个方法是通性通法，容易第一时间想到和入手，教师在课堂教学过程中也重点渗透，但是处理时，带给学生的运算量是很大的，这就造成一定的困难，很难高效地解决问题．
【探究四：方程视角——利用二次方程、二次不等式转化求解】
由探究三可知2x＋y－z＝2，得y＝2－2x＋z．令u＝x2＋y2＋z2＝x2＋(2－2x＋z)2＋z2，整理得关于x的一元二次方程5x2－(8＋4z)x＋6z2＋4z＋4－u＝0，所以其判别式Δ1＝4(－10z2－4z－4＋5u)≥0，即10z2＋4z＋4－5u≤0，得Δ2＝80－40(4－5u)≥0，解得u≥．所以x2＋y2＋z2≥，当x＝，y＝，z＝－时等号成立．
[点评]　不等式和方程、函数联系紧密，三元条件下的函数最值问题可以转化为方程有解的必要条件问题．尤其是二次方程的问题，我们可以考虑用根的判别式来解决，但一定要验证取等号的条件．
【探究五：平面向量的数量积与解析几何相结合】
设m＝|d|，θ＝〈d，c〉，由探究二、三可设c的单位向量ec＝，所以|z|＝，则x2＋y2＋z2＝m2＋2，可被视为点(m，mcos θ)到点的距离的平方．点(m，mcos θ)在直线y＝cos θ·x上，且m∈[0，＋∞)，则x2＋y2＋z2的最小值可视为点到直线y＝cos θ·x的距离的平方的最小值．由θ∈[0，π]得cos θ∈[－1,1]．由点到直线的距离公式可得x2＋y2＋z2＝．显然，当cos θ＝±1时，x2＋y2＋z2有最小值为．
综上所述，本题求解分别利用了函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，考查了数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．
[高考还可这样考]
1．已知向量a＝(－2,1)，b＝(3,0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为(　　)
A．－e　　　　　　　　 B．e
C．－2e D．2e
解析：C　设a与b所成角为θ，则cos θ＝＝＝－，故a在b上的投影向量为|a|cos θe＝－2e．故选C．
2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－4)，则b在a方向上的投影是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：C　由题得|a|＝＝，b在a方向上的投影是|b|cos〈a，b〉＝＝＝－．故选C．
3．已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b＋c|的取值范围是________．
解析：如图，|a＋b|＝，当c与a＋b同向时，此时|a＋b＋c|最大，为＋1；当c与a＋b反向时，此时|a＋b＋c|最小，为－1．
答案：[－1，＋1]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，求·的取值范围．
解：∵点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－2≤x≤2，－≤y≤)，依题意得左焦点F(－1,0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝x2＋x＋3＝2＋2，∵－2≤x≤2，∴0≤x＋1≤2，∴0≤2≤4，∴2≤(x＋1)2＋2≤6，即2≤·≤6．故·的取值范围为[2,6]．

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