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第一节　平面向量的概念及线性运算
(1)了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素；(3)掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(4)掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(5)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．　
重点一　向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(模)．
2．零向量：长度为0的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－．
[逐点清]
1．(多选) (必修第二册5页习题3题改编)以下说法正确的是(　　)
A．零向量与任一非零向量平行
B．零向量的模与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
解析：ABD　对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；对于B，因为零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选A、B、D．
重点二　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
[逐点清]
2．(必修第二册10页练习3题改编)已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．
答案：b－a　－a－b
重点三　向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λ a．
[注意]　只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性．
[逐点清]
3． (必修第二册16页练习3题改编)P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则P点一定在(　　)
A．△ABC内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
解析：B　根据题意，＝λ＋ －＝λ ＝λ，∴点P在AC边所在直线上，故选B．
[记结论]
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
2．已知＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1．
[提速度]
如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．
解析：∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点．又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4．
答案：4
平面向量的有关概念
1．(2022·南通联考)下列命题中正确的是(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
解析：D　则若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，A错误；模相等的两个平行向量可能是相等向量也可能是相反向量，B错误；若a和b都是单位向量，但是两向量方向不一致，则不满足a＝b，C错误；两个相等向量的模一定相等，D正确，故选D．
2．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　因为a，b为非零向量，所以a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件．故选B．
3．(2022·日照调研)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　 )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
解析：A　因为＝，所以∥，且||＝||，所以四边形ABCD为以AD为上底边，BC为下底边的梯形．又||＝||，因此四边形ABCD是等腰梯形．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆；
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
平面向量的线性运算
考向1　向量的线性运算
　(2022·青岛质检)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　 )
A．a＋b　　 B．a＋b
C．a－b　　 D．a－b
[解析]　法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋．因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A．
法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
[答案]　A
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则；
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果．　
考向2　根据向量线性运算求参数
　(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝ ，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[解析]　由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝．
[答案]　A
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　
1．(2022·济南期中)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：A　根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，所以＝－，故选A．
2．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，＝3，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为＝3，所以＝＋ ＝＋(－)＝＋，因为＝，所以＝，所以＝＋，又＝＋m，所以m＝，故选B．
向量共线定理的应用
设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴，共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用；
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线；
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0；
(4)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1．　
1．(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　 )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
解析：A　∵A，B，C三点共线，∴∥，∴存在实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b＝(a＋μb)＝，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A．
2．(2022·潍坊期中)如图，在△ABC中，＝3，D是BE上的点，若＝x＋，则实数x的值为________．
解析：∵＝3，∴＝，∵＝x＋，∴＝x＋×＝x＋，∵B，D，E三点共线，∴x＋＝1，∴x＝．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·宜昌月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
解析：D　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故选D．
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反　　　 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
3．已知正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．0
解析：D　如图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝0．故选D．
4．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　 )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
解析：C　由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
5．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：A　因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，因为＝＋＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以解得m＝3．故选A．
6．(多选)给出下列命题，其中假命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
解析：BCD　对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．
7．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝＋
解析：AC　易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB，∴＝＋＝＋，∴D说法错误；∵＝＝＋，∴C说法正确；∵＝＋＝(＋)＋(－)＝＋，∴A说法正确，B说法错误．故选A、C．
8．(2022·襄阳模拟)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2．
答案：2
9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________．
解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝．
答案：
10．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是________h．(附： ≈2．449，精确到0．01)
解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图所示，|v|＝＝(km/h)，所以t＝＝＝≈0．41(h)．
答案：0．41
B级——综合应用
11．(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．A，B，C三点共线
解析：ABD　由题可得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，∴＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选A、B、D．
12．(2022·重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋sin α (α是锐角)总成立，则α＝________．
解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得＝λ，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ，所以所以sin α＝cos α，因为α是锐角，所以α＝45°．
答案：45°
13．(2022·兰州诊断)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2．因为点E在线段CD上，所以＝λ (0≤λ≤1)．因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝．因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤．
答案：

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