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第一节　数列的概念与表示
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．　
重点一　数列的概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的第n项与项数n 数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一般用an＝f(n)表示
前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和
[逐点清]
1．(选择性必修第二册5页练习4题改编)数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝　　　　 B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：A　数列为，，，，，…，其分母为2，分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4，因此通项公式可能为an＝．
重点二　数列的分类及性质
[逐点清]
2．(选择性必修第二册9页习题7题改编)已知an＝2n＋a(1－n)．若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________．
解析：∵an＝2n＋a(1－n)，∴an＝(2－a)n＋a，∵数列{an}是递减数列，∴2－a<0，解得a>2．
答案：(2，＋∞)
重点三　数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
序号n 1 2 3 … n …
项an a1 a2 a3 … an …
2．图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
3．通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
4．递推公式法
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
[逐点清]
3．(选择性必修第二册8页练习2题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
解析：D　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝．
4．(易错题)设函数f(x)的定义如下表，数列{an}满足a1＝2，且对任意的n∈N*，均有an＋1＝f(an)，则a2 022＝________．
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
解析：由题意，数列{an}满足a1＝2，且对任意的n∈N*，均有an＋1＝f(an)，可得a1＝2，a2＝f(2)＝1，a3＝f(1)＝4，a4＝f(4)＝5，a5＝f(5)＝2，…，所以{an}是周期为4的数列，所以a2 022＝a505×4＋2＝a2＝1．
答案：1
[记结论]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
[提速度]
　(多选)(2022·天津模拟)在数列{an}中，an＝(n＋1)·n，则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A．第6项 B．第7项　　
C．第8项　 D．第9项
解析：AB　由结论2可得(n＋1)n≥(n＋2)n＋1且(n＋1)n≥nn－1，所以即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选A、B．
由an与Sn的关系求通项公式
1．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．
解析：当n＝1时，a1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1，当n＝1时，21－1＝1≠a1．所以an＝
答案：
2．(2022·福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝，②
①－②得，2n－1an＝，∴an＝(n≥2)，③
又∵a1＝也适合③式，∴an＝(n∈N*)．
答案：an＝(n∈N*)
1．已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　
由数列的递推关系求通项公式
　(1)(2022·泰安质检)在数列{an}中，a1＝100，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，则通项公式an＝________；
(2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________；
(3)(2022·衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　(1)由an＋1＝an＋3n，n∈N*，得a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n－1(n≥2)．将这(n－1)个等式累加并整理得an＝a1＋3＋32＋…＋3n－1＝100＋＝·3n＋(n≥2)．显然a1＝100也适合上式，故通项公式an＝·3n＋，n∈N*．
(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2)．所以an＝···…···a1＝···…···1＝(n≥2)，又a1也满足上式，所以an＝．
(3)因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)．因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*．
[答案]　(1)·3n＋，n∈N*　(2)　(3)an＝2n－1，n∈N*
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；
(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an；
(3)已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，可把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解．　
1．(2022·重庆模拟)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
解析：∵an＋1－an＝＝－，∴当n≥2时，an－an－1＝－，an－1－an－2＝－，…，a2－a1＝1－，∴以上各式相加得，an－a1＝1－，∴an＝4－，a1＝3适合上式，∴an＝4－．
答案：4－
2．已知数列{an}的首项是a1＝，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由题意得＝，当n≥2时，···…·＝×××…×(n≥2)，所以＝(n≥2)，因为a1＝，所以an＝(n≥2)．因为a1＝满足上式，所以an＝．
答案：an＝
3．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝．又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)×＝＋，所以an＝．
答案：an＝
数列的性质与应用
考向1　数列的周期性
　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 023项的乘积是(　　)
A．2 B．－6
C．3 D．1
[解析]　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…所以数列{an}每四项重复出现，即an＋4＝an，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 023＝1505×a1×a2×a3＝3．故选C．
[答案]　C
解决数列周期性问题的方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．　
考向2　数列的单调性
　(2022·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．
[解析]　∵数列{an}是单调递增数列，∴对任意的n∈N*，都有an＋1>an，∴(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即实数b的取值范围为(－3，＋∞)．故选B．
[答案]　B
解决数列单调性问题的三种方法
(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
(2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；
(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．　
考向3　数列的最大(小)项
　(2022·金陵质检)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　)
A． B．4－1 C．　　 D．
[解析]　由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝28＋2＋4＋…＋2(n－1)＝28＋n(n－1)＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0， ]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且＝<＝，故选C．
[答案]　C
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项；
(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列　　　　　 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析：A　由an＝，可得an＋1－an＝－＝>0，∴an＋1>an，故选A．
2．(2022·福州模拟)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 023＝(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
解析：B　由a1＝，an＋1＝得a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 023＝a3×674＋1＝a1＝．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则当Sn取得最小值时n的值为________．
解析：当an＝>0 n＝1或n≥6，∴a2＝0，a3<0，a4<0，a5<0，故当Sn取得最小值时n的值为5．
答案：5
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20，则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A．an＝4n－2　　　　　 B．an＝2n＋2(n－1)
C．an＝n2＋n D．an＝3n－1＋2n－1
解析：C　对于A，a3＝10≠12，故A错误；对于B，a4＝16＋6＝22≠20，故B错误；对于C，a1＝12＋1＝2，a2＝22＋2＝6，a3＝32＋3＝12，a4＝42＋4＝20，故C正确；对于D，a3＝9＋5＝14≠12，故D错误．故选C．
2．(2022·潍坊一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：B　因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3．经检验，当n＝1时不符合，所以an＝所以a1＋a3＋a5＝28．故选B．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)
A．31 B．42
C．37 D．47
解析：D　由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，又S1＋1＝3，故数列{Sn＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47．
4．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0．对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：C　因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，所以t≤an＋3恒成立，即t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3．
5．(多选)(2022·泰安模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是(　　)
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2
D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)
解析：AC　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A、C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C．
6．(多选)(2022·潍坊一模)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝19 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S5
解析：BC　因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a6<0，所以S67．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
解析：an＝，当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1，由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5．
答案：5
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________，an＝________．
解析：由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，则当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋＝，又a1＝1也适合上式，故an＝，则a4＝＝7．
答案：7　
9．(2022·北京质检)已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2，∴2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，两式相减，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)，当n＝1时，a1＝1，适合an＝n，故an＝n(n∈N*)．
答案：n
10．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg 2＋lg＋lg＋…＋lg＝lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn．
解：由已知得：2···…·＝n，
即2····…·＝n．
∵a1，a2，…，an，…为连续自然数，
∴上式可化简为2·＝n，即2·＝n，
∴2n＋2a1＝na1，即(n－2)(a1－2)＝4．
若要n最大，且n∈N*，则只能有
∴
∴该数列最多有6项，首项为3，
∴S6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33．
B级——综合应用
11．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝(　　)
A．0 B．
C． D．
解析：D　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，当n为偶数时，Sn＝Sn－Sn－1＋，即有Sn－1＝，所以S1＋S3＋S5＝＋＋＝．故选D．
12．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝(　　)
A．2＋nln n B．2＋(n－1)ln n
C．1＋n＋ln n D．2n＋nln n
解析：D　由题意得，＝＋ln ，则＝＋ln ，＝＋ln ，…，＝＋ln ，由累加法得，＝＋ln ＋ln ＋…＋ln ，即＝a1＋ln，则＝2＋ln n，所以an＝2n＋nln n，故选D．
13．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－．
答案：an＝2－(答案不唯一)
14．(2022·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式相减得nan＝an＋1－an，即＝3(n≥2)，
∵a1＝1，∴1＝a2，即a2＝1，∴＝2≠3．
∴数列{nan}是从第二项开始的等比数列，
∴当n≥2时，有nan＝2×3n－2，
∴an＝
(2)存在n∈N*使得an≤(n＋1)λ成立 λ≥有解，
①当n＝1时，＝，则λ≥，即λmin＝；
②当n≥2时，＝，
设f(n)＝，∴＝>1，∴f(n)单调递增，
∴f(n)min＝f(2)＝，∴实数λ的最小值是．
由①②可知实数λ的最小值是．
C级——迁移创新
15．(多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0A．当k＝时，数列{an}为递减数列
B．当k＝时，数列{an}一定有最大项
C．当0D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项
解析：BCD　当k＝时，a1＝a2＝，知A错误；当k＝时，＝·，当n<4时，>1，当n>4时，<1，所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0k≥，当k＝时，a1＝a2>a3>a4>…，当1>k>时，令＝m∈N*，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确．故选B、C、D．
16．(2022·益阳一模)设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，求x1·x2·x3·x4·…·x2 020的值．
解：由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝ ，故x1·x2·x3·x4·…·x2 020＝ × ×…× ＝ ．

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